Class 10 Mathematics Important Questions with Answers (Long answers)

दिया: संख्याएँ 17, 4।
विधि: अध्याय Real Numbers का नियम लागू करें।
गणना: योग 21, गुणन 68।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

Euclid’s division lemma and the Fundamental Theorem of Arithmetic are the two engines. HCF × LCM = product for two positives. Terminating versus non-terminating recurring decimals follow the prime factors of the denominator after the fraction is in lowest terms. Irrationals such as √2 stay irrational in the usual school proofs. Class 10 no longer dwells on the old “revisiting irrationality” extras that some reprints dropped — these questions follow the slim chapter.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।

दिया: संख्याएँ 18, 5।
विधि: अध्याय Polynomials का नियम लागू करें।
गणना: योग 23, गुणन 90।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

Zeros and coefficients: for a quadratic, sum = −b/a, product = c/a. A linear polynomial has one zero; a cubic can have three. Graph-and-zero language is enough; do not import Class 11 remainder circus unless the item is a simple p(1)=0 check. Relationship questions are the board regulars.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।

दिया: संख्याएँ 19, 6।
विधि: अध्याय Pair of Linear Equations in Two Variables का नियम लागू करें।
गणना: योग 25, गुणन 114।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

a1/a2 versus b1/b2 versus c1/c2 decides unique, infinite or none. Graphical intersection is the picture; substitution, elimination and cross-multiplication are the algebra. A consistent pair can still be dependent. Word problems: age, digits, fractions, upstream-downstream. Write the pair before you solve.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।

दिया: संख्याएँ 20, 7।
विधि: अध्याय Quadratic Equations का नियम लागू करें।
गणना: योग 27, गुणन 140।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

ax²+bx+c=0, a≠0. Factor, complete the square, or formula. Discriminant D=b²−4ac: two real, one real, none real (in reals). Nature of roots is a two-mark gift if you remember the three cases. Word problems must end with the rejected root explained (negative age, etc.).

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।

दिया: संख्याएँ 21, 3।
विधि: अध्याय Arithmetic Progressions का नियम लागू करें।
गणना: योग 24, गुणन 63।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

nth term an = a+(n−1)d, sum Sn = n/2[2a+(n−1)d]. Three terms in AP can be written a−d, a, a+d. Applications: instalments, logs in a pile. Do not use Class 11 GP formulas here.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।

दिया: संख्याएँ 22, 4।
विधि: अध्याय Triangles का नियम लागू करें।
गणना: योग 26, गुणन 88।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

AAA similarity, Basic Proportionality (Thales), and the Pythagoras family including converse. Areas of similar triangles scale as the square of corresponding sides. Mid-point and right-triangle altitude-to-hypotenuse facts return every year. Draw, mark equal angles, then write the similarity statement in corresponding order.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।

दिया: संख्याएँ 23, 5।
विधि: अध्याय Coordinate Geometry का नियम लागू करें।
गणना: योग 28, गुणन 115।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

Distance, section (internal), and area of a triangle from vertices. Mid-point is section 1:1. Collinearity via area zero or equal slopes. Keep the formula card honest: no Class 11 straight-line intercept theory unless the school still prints it — this hub stays Class 10 NCERT.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।

दिया: संख्याएँ 24, 6।
विधि: अध्याय Introduction to Trigonometry का नियम लागू करें।
गणना: योग 30, गुणन 144।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

sin, cos, tan of 0°, 30°, 45°, 60°, 90° and identities sin²θ+cos²θ=1, 1+tan²=sec², 1+cot²=csc². Complementary relations: sin(90−θ)=cosθ. Do not invent 15° values unless an identity produces them. These MCQs are table-plus-identity, the board’s cheapest six marks if you are fluent.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।

दिया: संख्याएँ 25, 7।
विधि: अध्याय Some Applications of Trigonometry का नियम लागू करें।
गणना: योग 32, गुणन 175।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

Line of sight, angle of elevation and depression. A two-position problem (walking towards a tower) is the standard long question. Draw; mark both angles; write two tan equations. Height and distance never need a 3D vector.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।

दिया: संख्याएँ 26, 3।
विधि: अध्याय Circles का नियम लागू करें।
गणना: योग 29, गुणन 78।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

Tangent ⊥ radius at the point of contact; two tangents from an external point are equal. Alternate segment is often trimmed in rationalized lists — these questions stay on the two sure theorems plus a numerical. Do not quote intersecting-chord chapter if your book dropped it.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।