गणित — 2010 से रिपीटेड प्रश्न व हल

सही विकल्प: D — 64

n अवयवों वाले समुच्चय पर स्वतुल्य संबंधों की संख्या 2^(n² − n) होती है। n = 3 पर 2^6 = 64। / For an n-element set the number of reflexive relations is 2^(n² − n).

1. Step 1 n अवयवों वाले समुच्चय पर एक संबंध में कुल n² युग्म संभव हैं।
2. Step 2 स्वतुल्य संबंध में विकर्ण के n युग्म (a, a) अवश्य उपस्थित रहते हैं।
3. Step 3 शेष n² − n युग्मों में से प्रत्येक को स्वतंत्र रूप से लिया या छोड़ा जा सकता है।
4. Step 4 यहाँ n = 3, अतः संख्या = 2^(9 − 3) = 2^6 = 64।

सही विकल्प: C — π/2

सर्वसमिका: sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2, जहाँ x ∈ [−1, 1]। जाँच: π/6 + π/3 = π/2।

1. Step 1 ज्ञात सर्वसमिका: sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2, x ∈ [−1, 1]।
2. Step 2 यहाँ x = 1/2 इस अंतराल में है, अतः योग = π/2।
3. Step 3 सीधा मान: sin⁻¹(1/2) = π/6 तथा cos⁻¹(1/2) = π/3।
4. Step 4 π/6 + π/3 = π/6 + 2π/6 = 3π/6 = π/2।

सही विकल्प: C — 20

n कोटि के आव्यूह के लिए |kA| = k^n |A|। अतः |2A| = 2² × 5 = 20।

1. Step 1 सूत्र: यदि A, n × n आव्यूह हो तो |kA| = k^n |A|।
2. Step 2 यहाँ n = 2 तथा k = 2, |A| = 5।
3. Step 3 |2A| = 2² × 5 = 4 × 5 = 20।

सही विकल्प: B — -2

|A| = 1×4 − 2×3 = 4 − 6 = −2।

1. Step 1 2 × 2 सारणिक का सूत्र: |[[a, b], [c, d]]| = ad − bc।
2. Step 2 a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 रखने पर |A| = 1×4 − 2×3।
3. Step 3 4 − 6 = −2। अतः |A| = −2।

सही विकल्प: C — 5

(sin 5x)/x = 5 · (sin 5x)/(5x) → 5 × 1 = 5 जब x → 0।

1. Step 1 मान को 5 से गुणा-भाग करें: (sin 5x)/x = 5 · (sin 5x)/(5x)।
2. Step 2 मानक सीमा: lim θ→0 (sin θ)/θ = 1, जहाँ θ = 5x → 0 जब x → 0।
3. Step 3 अतः सीमा = 5 × 1 = 5।

सही विकल्प: B — -1

d/dx (cos⁻¹ x) = −1/√(1 − x²)। x = 0 पर मान −1 है।

1. Step 1 सूत्र: d/dx (cos⁻¹ x) = −1 / √(1 − x²), |x| < 1।
2. Step 2 x = 0 रखने पर हर = √1 = 1।
3. Step 3 अतः अवकलज = −1/1 = −1।

सही विकल्प: C — (-∞, -1) ∪ (1, ∞)

f′(x) = 3(x² − 1) > 0 जब |x| > 1, अर्थात् (−∞, −1) ∪ (1, ∞)।

1. Step 1 f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)।
2. Step 2 f′(x) > 0 जब x² > 1, अर्थात् x < −1 या x > 1।
3. Step 3 अतः f, (−∞, −1) ∪ (1, ∞) पर निरंतर वर्धमान है।

सही विकल्प: B — tan⁻¹ x + C

मानक सूत्र: ∫ dx/(1 + x²) = tan⁻¹ x + C।

1. Step 1 यह प्रतिलोम स्पर्शज्या का मानक समाकल है।
2. Step 2 d/dx (tan⁻¹ x) = 1/(1 + x²) से उलटा सूत्र मिलता है।
3. Step 3 अतः ∫ dx/(1 + x²) = tan⁻¹ x + C।

सही विकल्प: B — 1

[−cos x]₀^{π/2} = 0 − (−1) = 1।

1. Step 1 ∫ sin x dx = −cos x + C।
2. Step 2 निश्चित सीमाएँ: [−cos x]₀^{π/2} = (−cos(π/2)) − (−cos 0)।
3. Step 3 cos(π/2) = 0, cos 0 = 1, अतः 0 − (−1) = 1।

सही विकल्प: B — 2

कोटि = उच्चतम अवकलज की कोटि = 2। घात 3 है, कोटि नहीं।

1. Step 1 कोटि उस उच्चतम अवकलज की कोटि है जो समीकरण में उपस्थित हो।
2. Step 2 यहाँ उच्चतम अवकलज d²y/dx² है, अतः कोटि = 2।
3. Step 3 घात 3 है क्योंकि (d²y/dx²) पर घात 3 है; प्रश्न कोटि माँगता है।

सही विकल्प: A — -3

a · b = 2(1) + 3(−1) + (−1)(2) = 2 − 3 − 2 = −3।

1. Step 1 अदिश गुणन: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃।
2. Step 2 2×1 + 3×(−1) + (−1)×2 = 2 − 3 − 2।
3. Step 3 योग = −3।

सही विकल्प: B — l² + m² + n² = 1

दिक्-कोसाइन की मूल सर्वसमिका: l² + m² + n² = 1।

1. Step 1 यदि रेखा अक्षों से कोण α, β, γ बनाए तो l = cos α, m = cos β, n = cos γ।
2. Step 2 इकाई सदिश के घटक होने से l² + m² + n² = 1।
3. Step 3 अतः सही संबंध l² + m² + n² = 1 है।

सही विकल्प: C — (0, 4)

कोने: (0,0)→0, (4,0)→12, (0,4)→16, (2,2)→14। अधिकतम 16 बिंदु (0, 4) पर।

1. Step 1 सुसंगत क्षेत्र एक समकोण त्रिभुज है जिसके शीर्ष (0,0), (4,0), (0,4) हैं।
2. Step 2 Z(0,0) = 0, Z(4,0) = 12, Z(0,4) = 16।
3. Step 3 आंतरिक बिंदु (2,2) पर Z = 14 < 16।
4. Step 4 अतः अधिकतम (0, 4) पर है।

सही विकल्प: A — 1/2

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = (1/6)/(1/3) = 1/2।

1. Step 1 सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)।
2. Step 2 मान रखने पर (1/6) ÷ (1/3) = (1/6) × 3 = 1/2।
3. Step 3 ध्यान दें कि P(A ∩ B) = P(A)P(B) भी है, अतः A, B स्वतंत्र हैं; तब P(A|B) = P(A) = 1/2।

सही विकल्प: B — 2

द्विपद बंटन का माध्य np = 8 × 1/4 = 2।

1. Step 1 द्विपद बंटन B(n, p) का माध्य = np।
2. Step 2 n = 8, p = 1/4 रखने पर माध्य = 8 × 1/4 = 2।
3. Step 3 (प्रसरण npq = 2 × 3/4 = 3/2 होता, पर प्रश्न माध्य पूछता है।)

सही विकल्प: B — 3

(f ∘ g)(2) = f(g(2)) = f(3) = 2×3 − 3 = 3।

1. Step 1 परिभाषा: (f ∘ g)(x) = f(g(x))।
2. Step 2 पहले g(2) = 2 + 1 = 3।
3. Step 3 फिर f(3) = 2×3 − 3 = 3। अतः (f ∘ g)(2) = 3।

1. Step 1 एकैकी: मान लीजिए f(x₁) = f(x₂) ⇒ 2x₁ + 5 = 2x₂ + 5 ⇒ x₁ = x₂। अतः f एकैकी है।
2. Step 2 आच्छादक: कोई y ∈ R लीजिए। 2x + 5 = y ⇒ x = (y − 5)/2 ∈ R। प्रत्येक y का पूर्व-प्रतिबिंब है।
3. Step 3 अतः f एकैकी तथा आच्छादक है।

f एकैकी (one-one) तथा आच्छादक (onto) है; अतः f एकैक आच्छादक (bijective) है।

1. Step 1 सूत्र: a > 0, b > 0, ab > 1 होने पर tan⁻¹ a + tan⁻¹ b = π + tan⁻¹((a + b)/(1 − ab))।
2. Step 2 यहाँ a = 2, b = 3, ab = 6 > 1, अतः योग = π + tan⁻¹(5/(1 − 6)) = π + tan⁻¹(−1)।
3. Step 3 tan⁻¹(−1) = −π/4 (मुख्य मान)। अतः π − π/4 = 3π/4।

tan⁻¹ 2 + tan⁻¹ 3 = 3π/4

1. Step 1 |A| = 2×2 − 1×3 = 4 − 3 = 1 ≠ 0, अतः A व्युत्क्रमणीय है।
2. Step 2 सहखंड आव्यूह: C₁₁ = 2, C₁₂ = −3, C₂₁ = −1, C₂₂ = 2। adj A = [[2, −1], [−3, 2]]।
3. Step 3 A⁻¹ = (1/|A|) adj A = [[2, −1], [−3, 2]]।
4. Step 4 जाँच: A A⁻¹ = [[4 − 3, −2 + 2], [6 − 6, −3 + 4]] = I।

A⁻¹ = [[2, −1], [−3, 2]]

1. Step 1 प्रथम स्तंभ C₁ = (2, 1, 4) तथा तृतीय स्तंभ C₃ = (2, 1, 4) समान हैं।
2. Step 2 सारणिक के गुण से: दो स्तंभ समान हों तो सारणिक शून्य होता है।
3. Step 3 अतः दिया गया सारणिक = 0।

सारणिक का मान 0 है (स्तंभ C₁ = C₃)।

1. Step 1 संततता के लिए lim (x→2) f(x) = f(2) = k होना चाहिए।
2. Step 2 x ≠ 2 पर f(x) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2।
3. Step 3 अतः lim (x→2) f(x) = 4। इसलिए k = 4।

k = 4

1. Step 1 f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3)।
2. Step 2 f′(x) ≥ 0 जब (x − 1)(x − 3) ≥ 0, अर्थात् x ≤ 1 या x ≥ 3।
3. Step 3 अतः f, (−∞, 1] ∪ [3, ∞) पर वर्धमान (तथा [1, 3] पर ह्रासमान) है।

f, (−∞, 1] ∪ [3, ∞) पर वर्धमान है।

1. Step 1 खंडशः समाकलन: u = x, dv = sin x dx ⇒ du = dx, v = −cos x।
2. Step 2 ∫ u dv = uv − ∫ v du = −x cos x − ∫ (−cos x) dx।
3. Step 3 = −x cos x + ∫ cos x dx = −x cos x + sin x + C।

∫ x sin x dx = −x cos x + sin x + C

1. Step 1 चर पृथक्करण: dy/(1 + y²) = dx/(1 + x²)।
2. Step 2 दोनों ओर समाकलन: tan⁻¹ y = tan⁻¹ x + C।
3. Step 3 यह व्यापक हल है। (विशेष स्थिति में tan सूत्र से y को x के पद में लिखा जा सकता है।)

tan⁻¹ y = tan⁻¹ x + C अथवा y = (x + k)/(1 − kx), जहाँ k = tan C (1 − kx ≠ 0)।

1. Step 1 a × b = | i j k |
2. Step 2 | 1 2 −1 | = i(2 − 1) − j(1 + 2) + k(−1 − 4) = i − 3j − 5k।
3. Step 3 | 2 −1 1 |
4. Step 4 |a × b| = √(1² + (−3)² + (−5)²) = √(1 + 9 + 25) = √35।

|a × b| = √35

1. Step 1 कुल गेंदें = 12। दो गेंदें निकालने के कुल तरीके = C(12, 2) = 66।
2. Step 2 दो लाल चुनने के तरीके = C(5, 2) = 10।
3. Step 3 अतः P = 10/66 = 5/33। (क्रम से: (5/12)×(4/11) = 20/132 = 5/33।)

P(दोनों लाल) = 5/33

1. Step 1 एकैकी: f(x₁) = f(x₂) ⇒ 3x₁ + 2 = 3x₂ + 2 ⇒ x₁ = x₂। अतः f एकैकी है।
2. Step 2 आच्छादक: दिए y ∈ R के लिए 3x + 2 = y ⇒ x = (y − 2)/3 ∈ R। प्रत्येक वास्तविक संख्या का पूर्व-प्रतिबिंब विद्यमान है।
3. Step 3 एकैकी + आच्छादक ⇒ f एकैक आच्छादक (bijective) है, अतः प्रतिलोम फलन का अस्तित्व है।
4. Step 4 y = 3x + 2 को x के लिए हल करने पर x = (y − 2)/3। x और y का स्थान बदलकर f⁻¹(x) = (x − 2)/3।
5. Step 5 (f⁻¹ ∘ f)(x) = f⁻¹(3x + 2) = ((3x + 2) − 2)/3 = 3x/3 = x।
6. Step 6 इसी प्रकार (f ∘ f⁻¹)(x) = 3·((x − 2)/3) + 2 = x − 2 + 2 = x। दोनों संयोजन तत्समक हैं।

f एकैक आच्छादक है तथा f⁻¹(x) = (x − 2)/3। साथ ही (f⁻¹ ∘ f)(x) = x।

1. Step 1 सूत्र: tan⁻¹ a + tan⁻¹ b = tan⁻¹((a + b)/(1 − ab)), जब ab < 1।
2. Step 2 यहाँ a = 2x, b = 3x। यदि 6x² < 1, तो (2x + 3x)/(1 − 6x²) = tan(π/4) = 1।
3. Step 3 5x = 1 − 6x² ⇒ 6x² + 5x − 1 = 0।
4. Step 4 गुणनखंड: (6x − 1)(x + 1) = 0 ⇒ x = 1/6 या x = −1।
5. Step 5 x = 1/6 पर 6x² = 1/6 < 1 तथा 2x, 3x धनात्मक हैं, अतः सूत्र लागू है और समीकरण संतुष्ट होता है।
6. Step 6 x = −1 पर 2x · 3x = 6 > 1 तथा दोनों कोण ऋणात्मक हैं; tan⁻¹(−2) + tan⁻¹(−3) = −3π/4 ≠ π/4।
7. Step 7 अतः अद्वितीय हल x = 1/6 है।

x = 1/6 (x = −1 स्वीकार्य नहीं है।)

1. Step 1 आव्यूह रूप: AX = B, जहाँ A = [[1, 2], [3, 1]], X = [[x], [y]], B = [[5], [5]]।
2. Step 2 |A| = 1×1 − 2×3 = 1 − 6 = −5 ≠ 0, अतः अद्वितीय हल X = A⁻¹ B है।
3. Step 3 adj A = [[1, −2], [−3, 1]]। इसलिए A⁻¹ = (−1/5) [[1, −2], [−3, 1]]।
4. Step 4 X = (−1/5) [[1, −2], [−3, 1]] [[5], [5]] = (−1/5) [[5 − 10], [−15 + 5]]।
5. Step 5 = (−1/5) [[−5], [−10]] = [[1], [2]]। अतः x = 1, y = 2।
6. Step 6 जाँच: 1 + 2·2 = 5 तथा 3·1 + 2 = 5। दोनों समीकरण संतुष्ट हैं।

x = 1, y = 2

1. Step 1 महत्वपूर्ण बिंदु x = 1, 2 हैं। खंडशः रूप: x < 1 पर f(x) = (1 − x) + (2 − x) = 3 − 2x।
2. Step 2 1 ≤ x < 2 पर f(x) = (x − 1) + (2 − x) = 1। x ≥ 2 पर f(x) = (x − 1) + (x − 2) = 2x − 3।
3. Step 3 x = 1 पर LHL = 3 − 2 = 1, RHL = 1, f(1) = 1। x = 2 पर LHL = 1, RHL = 1, f(2) = 1। अन्यत्र f बहुपद है। अतः f, R पर संतत है।
4. Step 4 x < 1 पर f′(x) = −2; 1 < x < 2 पर f′(x) = 0; x > 2 पर f′(x) = 2।
5. Step 5 x = 1 पर बायाँ अवकलज = −2, दायाँ अवकलज = 0; असमान ⇒ x = 1 पर अवकलनीय नहीं।
6. Step 6 x = 2 पर बायाँ अवकलज = 0, दायाँ अवकलज = 2; असमान ⇒ x = 2 पर अवकलनीय नहीं।
7. Step 7 निष्कर्ष: f सर्वत्र संतत है तथा R \ {1, 2} पर अवकलनीय है।

f सभी वास्तविक x पर संतत है; x = 1 तथा x = 2 पर अवकलनीय नहीं है। f′(x) = −2 (x < 1), 0 (1 < x < 2), 2 (x > 2)।

1. Step 1 गोले की त्रिज्या R = 6। बेलन की ऊँचाई h तथा आधार-त्रिज्या r हो, तो समकोण त्रिभुज से r² + (h/2)² = R² ⇒ r² = 36 − h²/4।
2. Step 2 आयतन V = π r² h = π (36h − h³/4), जहाँ 0 < h < 12।
3. Step 3 dV/dh = π (36 − 3h²/4)। क्रांतिक बिंदु: 36 − 3h²/4 = 0 ⇒ h² = 48 ⇒ h = 4√3 (h > 0)।
4. Step 4 d²V/dh² = π (−6h/4) = −(3π h)/2। h = 4√3 > 0 पर द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है, अतः आयतन अधिकतम है।
5. Step 5 तब r² = 36 − 48/4 = 36 − 12 = 24।
6. Step 6 अधिकतम आयतन V = π · 24 · 4√3 = 96π√3 घन सेमी।
7. Step 7 अतः अभीष्ट ऊँचाई 4√3 सेमी तथा अधिकतम आयतन 96π√3 सेमी³ है।

अधिकतम आयतन पर ऊँचाई = 4√3 सेमी तथा अधिकतम आयतन = 96π√3 घन सेमी।

1. Step 1 प्रतिच्छेदन: पहली से x = y²/4 को दूसरी में रखने पर (y²/4)² = 4y ⇒ y⁴ = 64y ⇒ y(y³ − 64) = 0।
2. Step 2 y = 0 या y = 4। संगत बिंदु (0, 0) तथा (4, 4) हैं।
3. Step 3 0 ≤ x ≤ 4 पर ऊपरी वक्र y² = 4x ⇒ y = 2√x तथा निचला वक्र x² = 4y ⇒ y = x²/4।
4. Step 4 क्षेत्रफल A = ∫₀⁴ (2x^{1/2} − x²/4) dx।
5. Step 5 समाकलन: [2 · (2/3) x^{3/2} − x³/12]₀⁴ = (4/3) · 4^{3/2} − 64/12।
6. Step 6 4^{3/2} = 8 तथा 64/12 = 16/3, अतः A = 32/3 − 16/3 = 16/3।
7. Step 7 अतः परिबद्ध क्षेत्रफल 16/3 वर्ग इकाई है।

क्षेत्रफल = 16/3 वर्ग इकाई

1. Step 1 यह dy/dx + P(x)y = Q(x) रूप का है, जहाँ P(x) = 1/x, Q(x) = x²।
2. Step 2 समाकलन गुणक μ = exp(∫ P dx) = exp(∫ dx/x) = exp(log|x|) = |x|। x > 0 लेकर μ = x लेते हैं (x < 0 पर भी वही रूप मिलता है)।
3. Step 3 दोनों ओर μ से गुणा: x dy/dx + y = x³ ⇒ d/dx (xy) = x³।
4. Step 4 समाकलन: xy = ∫ x³ dx = x⁴/4 + C।
5. Step 5 अतः y = x³/4 + C/x, x ≠ 0। यही व्यापक हल है।
6. Step 6 जाँच: y′ = (3x²)/4 − C/x², तब y′ + y/x = 3x²/4 − C/x² + x²/4 + C/x² = x² = Q(x)।

व्यापक हल: y = x³/4 + C/x अथवा xy = x⁴/4 + C।

1. Step 1 प्रथम रेखा: बिंदु a₁ = i + 2j + 3k, दिक्-सदिश b₁ = i − j + k। द्वितीय: a₂ = 2i + j + k, b₂ = 2i + j − k।
2. Step 2 b₁ · b₂ = 1·2 + (−1)·1 + 1·(−1) = 2 − 1 − 1 = 0। अतः रेखाएँ परस्पर लंब हैं।
3. Step 3 a₂ − a₁ = (2 − 1)i + (1 − 2)j + (1 − 3)k = i − j − 2k।
4. Step 4 b₁ × b₂ = | i j k | = i(1 − 1) − j(−1 − 2) + k(1 + 2) = 3j + 3k।
5. Step 5 | 1 −1 1 |
6. Step 6 | 2 1 −1 |
7. Step 7 |b₁ × b₂| = √(0 + 9 + 9) = 3√2। (a₂ − a₁) · (b₁ × b₂) = 0 + (−1)(3) + (−2)(3) = −9।
8. Step 8 न्यूनतम दूरी = |(a₂ − a₁) · (b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂| = 9/(3√2) = 3/√2 = (3√2)/2 इकाई।

रेखाएँ परस्पर लंब हैं तथा न्यूनतम दूरी = 3/√2 इकाई (अथवा (3√2)/2 इकाई)।

1. Step 1 सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष अक्षों तथा रेखाओं x + y = 8, 2x + y = 10 के प्रतिच्छेद से मिलते हैं।
2. Step 2 y = 0 पर 2x ≤ 10 ⇒ x ≤ 5 तथा x ≤ 8, अतः बिंदु (5, 0)। x = 0 पर y ≤ 8 तथा y ≤ 10, अतः (0, 8)।
3. Step 3 प्रतिच्छेद: x + y = 8 तथा 2x + y = 10 घटाने पर x = 2, तब y = 6। बिंदु (2, 6) दोनों व्यवरोधों पर है।
4. Step 4 चतुर्थ शीर्ष मूल बिंदु (0, 0) है। सुसंगत समुच्चय इन चार शीर्षों वाला बहुभुज है।
5. Step 5 Z(0, 0) = 0; Z(5, 0) = 20; Z(2, 6) = 8 + 18 = 26; Z(0, 8) = 24।
6. Step 6 कोना-बिंदु विधि से अधिकतम मान सबसे बड़े Z पर है: Z = 26 जब x = 2, y = 6।

अधिकतम Z = 26, बिंदु (2, 6) पर।

1. Step 1 घटनाएँ: U₁ = कलश I चुना गया, U₂ = कलश II चुना गया, R = लाल गेंद निकली।
2. Step 2 P(U₁) = P(U₂) = 1/2 (कलश यादृच्छया चुना गया)।
3. Step 3 P(R|U₁) = 3/5, P(R|U₂) = 2/5।
4. Step 4 बेज प्रमेय: P(U₁|R) = [P(R|U₁) P(U₁)] / [P(R|U₁) P(U₁) + P(R|U₂) P(U₂)]।
5. Step 5 संख्याकार = (3/5)(1/2) = 3/10। हर = 3/10 + (2/5)(1/2) = 3/10 + 2/10 = 5/10।
6. Step 6 अतः P(U₁|R) = (3/10)/(5/10) = 3/5।
7. Step 7 अर्थ: लाल गेंद दिए जाने पर उसके कलश I से आने की प्रायिकता 3/5 है।

P(कलश I | लाल) = 3/5

सही विकल्प: A — [[−2, 1], [3/2, −1/2]]

|A| = −2। A⁻¹ = (1/|A|) adj A = (−1/2) [[4, −2], [−3, 1]] = [[−2, 1], [3/2, −1/2]]।

1. Step 1 |A| = 1×4 − 2×3 = 4 − 6 = −2 ≠ 0, अतः A व्युत्क्रमणीय है।
2. Step 2 adj A = [[4, −2], [−3, 1]]।
3. Step 3 A⁻¹ = (1/−2) [[4, −2], [−3, 1]] = [[−2, 1], [3/2, −1/2]]।

सही विकल्प: A — (Aᵀ)⁻¹

व्युत्क्रम व परिवर्त क्रमविनिमेय हैं: (A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹।

1. Step 1 AA⁻¹ = I लेने पर दोनों ओर परिवर्त: (A⁻¹)ᵀ Aᵀ = I।
2. Step 2 अतः (A⁻¹)ᵀ, Aᵀ का वाम व्युत्क्रम है।
3. Step 3 इसी प्रकार दायाँ व्युत्क्रम भी मिलता है, इसलिए (A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹।

सही विकल्प: A — tan x + C

d/dx (tan x) = sec² x, अतः उलटा सूत्र ∫ sec² x dx = tan x + C।

1. Step 1 मानक अवकलज: d/dx (tan x) = sec² x।
2. Step 2 समाकलन अवकलन का प्रतिलोम है।
3. Step 3 अतः ∫ sec² x dx = tan x + C।

सही विकल्प: A — sin⁻¹ x + C

मानक सूत्र: ∫ dx/√(1 − x²) = sin⁻¹ x + C (|x| < 1)।

1. Step 1 d/dx (sin⁻¹ x) = 1/√(1 − x²)।
2. Step 2 उलटा सूत्र सीधे समाकल देता है।
3. Step 3 अतः ∫ dx/√(1 − x²) = sin⁻¹ x + C।

सही विकल्प: A — 1

दूरी = |2(2) − 2(−1) + 3 − 3| / √(4+4+1) = 6/3 = 2।

1. Step 1 सूत्र: बिंदु (x₀,y₀,z₀) की ax+by+cz+d=0 से दूरी = |ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²)।
2. Step 2 समतल: 2x − 2y + z − 3 = 0। बिंदु (2, −1, 3)।
3. Step 3 अंक = |4 + 2 + 3 − 3| = 6; हर = √9 = 3। दूरी = 2।

सही विकल्प: A — 3, 4, 0

DR = (4−1, 6−2, 3−3) = (3, 4, 0)।

1. Step 1 दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा के DR = (x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁)।
2. Step 2 (4−1, 6−2, 3−3) = (3, 4, 0)।
3. Step 3 अतः दिक्-अनुपात 3, 4, 0 के समानुपाती हैं।

सही विकल्प: A — (3, 0)

सुसंगत शीर्ष: (3,0), (4,0) तथा अनंत y दिशा में खुला पर न्यूनतम परिबद्ध शीर्षों पर। Z(3,0)=3, Z(4,0)=4, Z(0,3)=6। न्यूनतम (3,0) पर 3।

1. Step 1 सुसंगत क्षेत्र: x+y≥3, 0≤x≤4, y≥0। परिबद्ध शीर्ष (3,0) व (4,0); (0,3) भी व्यवरोध पर है।
2. Step 2 Z(3,0)=3, Z(4,0)=4, Z(0,3)=6।
3. Step 3 न्यूनतम Z = 3 बिंदु (3, 0) पर।

सही विकल्प: A — 8/15

शेष पाँच फलकों पर कुल प्रायिकता 2/3, प्रत्येक 2/15। सम: 2,4,6 ⇒ 2/15+2/15+1/3 = 4/15+5/15 = 8/15।

1. Step 1 P(6) = 1/3; शेष 5 फलकों पर 1 − 1/3 = 2/3।
2. Step 2 प्रत्येक अन्य फलक: (2/3)/5 = 2/15।
3. Step 3 P(2 या 4 या 6) = 2/15 + 2/15 + 1/3 = 4/15 + 5/15 = 8/15।

सही विकल्प: A — 11/20

P(A∩B)=P(A)P(B)=1/10। P(A∪B)=1/4+2/5−1/10=5/20+8/20−2/20=11/20।

1. Step 1 स्वतंत्रता: P(A ∩ B) = (1/4)(2/5) = 1/10।
2. Step 2 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)।
3. Step 3 = 1/4 + 2/5 − 1/10 = 5/20 + 8/20 − 2/20 = 11/20।

सही विकल्प: A — π/4

(1/2)(1/3)=1/6<1, अतः योग = tan⁻¹((1/2+1/3)/(1−1/6)) = tan⁻¹((5/6)/(5/6)) = tan⁻¹ 1 = π/4।

1. Step 1 ab = 1/6 < 1, सूत्र tan⁻¹a + tan⁻¹b = tan⁻¹((a+b)/(1−ab)) लागू।
2. Step 2 (1/2 + 1/3)/(1 − 1/6) = (5/6)/(5/6) = 1।
3. Step 3 tan⁻¹ 1 = π/4।

सही विकल्प: A — 1/4

|A⁻¹| = 1/|A| = 1/4। (|A A⁻¹| = |I| = 1 = |A| |A⁻¹|।)

1. Step 1 AA⁻¹ = I ⇒ |A| |A⁻¹| = |I| = 1।
2. Step 2 अतः |A⁻¹| = 1/|A|।
3. Step 3 |A| = 4 ⇒ |A⁻¹| = 1/4।

सही विकल्प: A — 6√3

|a × b|² = |a|²|b|² − (a·b)² = 9·16 − 36 = 144 − 36 = 108 ⇒ |a × b| = √108 = 6√3।

1. Step 1 सर्वसमिका: |a × b|² + (a · b)² = |a|² |b|²।
2. Step 2 |a × b|² = 9×16 − 36 = 144 − 36 = 108।
3. Step 3 |a × b| = √108 = 6√3।

सही विकल्प: A — 2

घात = उच्चतम कोटि वाले अवकलज की घात, जब समीकरण बहुपद रूप में हो। उच्चतम अवकलज d²y/dx² की घात 2 है।

1. Step 1 कोटि 2 है (उच्चतम अवकलज d²y/dx²)।
2. Step 2 वह अवकलज घात 2 पर है।
3. Step 3 अतः घात = 2 (dy/dx की घात 3 कोटि नहीं बदलती)।

सही विकल्प: A — 0

[sin x]₀^π = 0 − 0 = 0।

1. Step 1 ∫ cos x dx = sin x।
2. Step 2 [sin x]₀^π = sin π − sin 0।
3. Step 3 0 − 0 = 0।

1. Step 1 |A| = 1×5 − 2×2 = 5 − 4 = 1 ≠ 0।
2. Step 2 adj A = [[5, −2], [−2, 1]]।
3. Step 3 A⁻¹ = (1/1) adj A = [[5, −2], [−2, 1]]।
4. Step 4 जाँच: A A⁻¹ = [[5−4, −2+2], [10−10, −4+5]] = I।

A⁻¹ = [[5, −2], [−2, 1]]

1. Step 1 मान लीजिए u = 1 + eˣ, तब du = eˣ dx।
2. Step 2 समाकल = ∫ du/u = log|u| + C।
3. Step 3 अतः log|1 + eˣ| + C।

∫ eˣ / (1 + eˣ) dx = log|1 + eˣ| + C

1. Step 1 हर का अवकलज = 2x + 3, जो अंश के बराबर है।
2. Step 2 सूत्र: ∫ f′(x)/f(x) dx = log|f(x)| + C।
3. Step 3 अतः log|x² + 3x + 2| + C।

log|x² + 3x + 2| + C

1. Step 1 अभिलंब n₁ = 2i − j + 2k, n₂ = i + j − 2k।
2. Step 2 n₁ · n₂ = 2 − 1 − 4 = −3; |n₁| = √9 = 3; |n₂| = √6।
3. Step 3 समतलों के बीच न्यून कोण: cos θ = |n₁ · n₂| / (|n₁| |n₂|) = 3/(3√6) = 1/√6।
4. Step 4 अतः θ = cos⁻¹(1/√6)।

θ = cos⁻¹(1/√6) (न्यून कोण)

1. Step 1 सुसंगत शीर्ष: (1, 3) [x=1 व x+y=4], (4, 0) [y=0 व x+y=4], (5, 0) [x=5, y=0]।
2. Step 2 Z(1,3)=11; Z(4,0)=8; Z(5,0)=10।
3. Step 3 कोना-बिंदु विधि से न्यूनतम Z = 8 बिंदु (4, 0) पर।

न्यूनतम Z = 8, बिंदु (4, 0) पर।

1. Step 1 P(I)=0.6, P(II)=0.4, P(D|I)=0.03, P(D|II)=0.05।
2. Step 2 बेज: P(I|D) = (0.03×0.6) / (0.03×0.6 + 0.05×0.4) = 0.018 / (0.018+0.020) = 0.018/0.038 = 18/38 = 9/19।

P(I | दोष) = 9/19

1. Step 1 I = ∫₀^{π/2} sin² x dx। सूत्र से I = ∫₀^{π/2} sin²(π/2 − x) dx = ∫₀^{π/2} cos² x dx।
2. Step 2 2I = ∫₀^{π/2} (sin² x + cos² x) dx = ∫₀^{π/2} 1 dx = π/2।
3. Step 3 I = π/4।

∫₀^{π/2} sin² x dx = π/4

1. Step 1 [a b c] = a · (b × c) = सारणिक |1 1 −1; 2 −1 1; 1 3 −2|।
2. Step 2 = 1[(−1)(−2) − 3] − 1[2(−2) − 1] + (−1)[6 − (−1)] = 1(2−3) − 1(−4−1) − (6+1)।
3. Step 3 = −1 − (−5) − 7 = −1 + 5 − 7 = −3। |[a b c]| = 3 ≠ 0, अतः असमतलीय।

[a b c] = −3 ≠ 0; सदिश समतलीय नहीं हैं।

1. Step 1 dy/dx = 1 + y/x। यह समघात है; v = y/x ⇒ y = vx, dy/dx = v + x dv/dx।
2. Step 2 v + x dv/dx = 1 + v ⇒ x dv/dx = 1 ⇒ dv = dx/x।
3. Step 3 v = log|x| + C ⇒ y/x = log|x| + C।

y = x log|x| + Cx अथवा y/x − log|x| = C

1. Step 1 f′(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1)। क्रांतिक बिंदु x = ±1।
2. Step 2 f″(x) = 6x। f″(−1) = −6 < 0 ⇒ स्थानीय उच्चिष्ठ f(−1) = −1 + 3 + 2 = 4।
3. Step 3 f″(1) = 6 > 0 ⇒ स्थानीय निम्निष्ठ f(1) = 1 − 3 + 2 = 0।

x = −1 पर स्थानीय उच्चिष्ठ f = 4; x = 1 पर स्थानीय निम्निष्ठ f = 0।

1. Step 1 |A| = 1(2 − 0) − 2(4 − 0) + (−1)(−2 − 3) = 2 − 8 + 5 = −1 ≠ 0।
2. Step 2 C₁₁ = 2, C₁₂ = −4, C₁₃ = −5; C₂₁ = −3, C₂₂ = 5, C₂₃ = 7; C₃₁ = 1, C₃₂ = −2, C₃₃ = −3।
3. Step 3 adj A = Cᵀ = [[2, −3, 1], [−4, 5, −2], [−5, 7, −3]]।
4. Step 4 A⁻¹ = (1/|A|) adj A = −adj A = [[−2, 3, −1], [4, −5, 2], [5, −7, 3]]।
5. Step 5 X = A⁻¹ B = [[−2, 3, −1], [4, −5, 2], [5, −7, 3]] [[1], [2], [1]] = [[3], [−4], [−6]]।
6. Step 6 जाँच: 1·3 + 2·(−4) + (−1)·(−6) = 1; 2·3 + 1·(−4) = 2; 3·3 + (−1)·(−4) + 2·(−6) = 1। अतः x = 3, y = −4, z = −6।

A⁻¹ = [[−2, 3, −1], [4, −5, 2], [5, −7, 3]]; हल x = 3, y = −4, z = −6।

1. Step 1 I = ∫ eˣ cos x dx। u = cos x, dv = eˣ dx ⇒ du = −sin x dx, v = eˣ।
2. Step 2 I = eˣ cos x − ∫ eˣ (−sin x) dx = eˣ cos x + ∫ eˣ sin x dx।
3. Step 3 J = ∫ eˣ sin x dx: u = sin x, dv = eˣ dx ⇒ J = eˣ sin x − ∫ eˣ cos x dx = eˣ sin x − I।
4. Step 4 I = eˣ cos x + eˣ sin x − I ⇒ 2I = eˣ (sin x + cos x) ⇒ I = (eˣ / 2)(sin x + cos x) + C।
5. Step 5 निश्चित: [(eˣ / 2)(sin x + cos x)]₀^{π/2} = (e^{π/2}/2)(1+0) − (1/2)(0+1) = (e^{π/2} − 1)/2।
6. Step 6 यह मानक चक्रीय खंडशः समाकल है; दोनों बार eˣ को dv लिया गया।

∫ eˣ cos x dx = (eˣ / 2)(sin x + cos x) + C; निश्चित मान = (e^{π/2} − 1)/2।

1. Step 1 a₁ = i+2j+3k, b₁ = i−j+2k; a₂ = 2i+3j+k, b₂ = 2i+j−k।
2. Step 2 b₁ · b₂ = 2 − 1 − 2 = −1; |b₁| = √6, |b₂| = √6। cos θ = 1/6।
3. Step 3 a₂ − a₁ = i + j − 2k।
4. Step 4 b₁ × b₂ = −i + 5j + 3k; |b₁ × b₂| = √35।
5. Step 5 (a₂ − a₁) · (b₁ × b₂) = −1 + 5 − 6 = −2।
6. Step 6 न्यूनतम दूरी = 2/√35 इकाई; कोण θ = cos⁻¹(1/6)।

कोण θ = cos⁻¹(1/6); न्यूनतम दूरी = 2/√35 इकाई।

1. Step 1 माना x = पंखों की संख्या, y = सिलाई मशीनों की संख्या; x≥0, y≥0।
2. Step 2 लागत: 360x + 240y ≤ 5760 ⇒ 3x + 2y ≤ 48 (दोनों ओर 120 से भाग)।
3. Step 3 स्थान: 0.4x + 0.8y ≤ 20 ⇒ x + 2y ≤ 50।
4. Step 4 Z = 22x + 18y अधिकतम। शीर्ष: (0,0); y=0 ⇒ x≤16 (लागत) व x≤50 ⇒ (16,0); x=0 ⇒ y≤24 व y≤25 ⇒ (0,24)।
5. Step 5 3x+2y=48 तथा x+2y=50 प्रथम चतुर्थांश में नहीं काटतीं। सुसंगत शीर्ष (0,0), (16,0), (0,24)।
6. Step 6 Z(16,0)=352; Z(0,24)=432; Z(0,0)=0। अधिकतम लाभ ₹432 जब 24 सिलाई मशीन व 0 पंखे खरीदे जाएँ।

अधिकतम लाभ ₹432; 24 सिलाई मशीन व 0 पंखे।

1. Step 1 D = रोगी, T = परीक्षण धनात्मक। P(D)=0.01, P(Dᶜ)=0.99।
2. Step 2 P(T|D)=0.90 (सही धनात्मक)। गलत धनात्मक: 1 − 0.95 = 0.05 = P(T|Dᶜ)।
3. Step 3 बेज: P(D|T) = P(T|D)P(D) / [P(T|D)P(D) + P(T|Dᶜ)P(Dᶜ)]।
4. Step 4 संख्याकार = 0.90×0.01 = 0.009। हर = 0.009 + 0.05×0.99 = 0.009 + 0.0495 = 0.0585।
5. Step 5 P(D|T) = 0.009 / 0.0585 = 90/585 = 18/117 = 6/39 = 2/13।
6. Step 6 अर्थ: धनात्मक परीक्षण पर भी वास्तविक रोग की प्रायिकता केवल 2/13 ≈ 15.4% है — दुर्लभ रोग में गलत धनात्मक अधिक योगदान करते हैं।

P(रोग | धनात्मक) = 18/117 = 6/39 = 2/13

1. Step 1 प्रतिच्छेदन: x² = x + 2 ⇒ x² − x − 2 = 0 ⇒ (x−2)(x+1)=0 ⇒ x=2 या x=−1।
2. Step 2 बिंदु (−1, 1) तथा (2, 4)। −1 ≤ x ≤ 2 पर रेखा ऊपर है क्योंकि मध्य x=0 पर 2 > 0।
3. Step 3 A = ∫_{−1}^{2} [(x+2) − x²] dx = [x²/2 + 2x − x³/3]_{−1}^{2}।
4. Step 4 ऊपरी: 2 + 4 − 8/3 = 6 − 8/3 = 10/3।
5. Step 5 निचला x=−1: 1/2 − 2 + 1/3 = (3−12+2)/6 = −7/6।
6. Step 6 A = 10/3 − (−7/6) = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2।
7. Step 7 अतः परिबद्ध क्षेत्रफल 9/2 वर्ग इकाई है।

क्षेत्रफल = 9/2 वर्ग इकाई

1. Step 1 मानक रूप: dy/dx + (2/x) y = x, x ≠ 0।
2. Step 2 μ = exp(∫ 2/x dx) = exp(2 log|x|) = x² (x>0 लेकर)।
3. Step 3 d/dx (x² y) = x · x² = x³।
4. Step 4 x² y = ∫ x³ dx = x⁴/4 + C ⇒ y = x²/4 + C/x²।
5. Step 5 y(1)=1: 1/4 + C = 1 ⇒ C = 3/4।
6. Step 6 विशेष हल y = x²/4 + 3/(4x²)। जाँच: y′ = x/2 − 3/(2x³); x y′ + 2y = x²/2 − 3/(2x²) + x²/2 + 3/(2x²) = x²।

व्यापक हल: y = x²/4 + C/x²। विशेष हल: y = x²/4 + 3/(4x²)।

1. Step 1 u = x², dv = eˣ dx ⇒ du = 2x dx, v = eˣ। I = x² eˣ − 2 ∫ x eˣ dx।
2. Step 2 ∫ x eˣ dx: u=x, dv=eˣ dx ⇒ x eˣ − ∫ eˣ dx = eˣ (x − 1)।
3. Step 3 I = x² eˣ − 2 eˣ (x − 1) + C = eˣ (x² − 2x + 2) + C।
4. Step 4 निश्चित: [eˣ (x² − 2x + 2)]₀¹ = e(1−2+2) − (1)(2) = e − 2।
5. Step 5 x=0 पर e⁰ · 2 = 2; x=1 पर e(1−2+2)=e। अंतर e−2।
6. Step 6 चूँकि e−2 > 0, मान धनात्मक है — x² eˣ ≥ 0 on [0,1] से संगति।

∫ x² eˣ dx = eˣ (x² − 2x + 2) + C; ∫₀¹ x² eˣ dx = e − 2।