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उत्तर प्रदेश माध्यमिक शिक्षा परिषद, प्रयागराज
U.P. MADHYAMIK SHIKSHA PARISHAD, PRAYAGRAJ

हाई स्कूल परीक्षा — अभ्यास प्रश्न-पत्र

गणित / Mathematics

समय / Time: 3 घंटे 15 मिनट पूर्णांक / M.M.: 46

निर्देश: खण्ड अ के विकल्प पर टैप करें। खण्ड ब और स पहले कॉपी में लिखें, फिर हल खोलें। यह अभ्यास पेपर है — आधिकारिक कोड UPMSP जारी करता है।

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खण्ड अ — बहुविकल्पीय प्रश्न · Section A — Multiple choice
प्र. 1विकल्प / MCQ1 अंकवास्तविक संख्याएँ · Real Numbers
वर्ष / Years: 201220152017201920222024

यदि HCF(306, 657) = 9 हो, तो LCM(306, 657) का मान है

If HCF(306, 657) = 9, then LCM(306, 657) is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: B — 22338

दो धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल = HCF × LCM. अतः LCM = 306 × 657 ÷ 9 = 22338.

  1. Step 1 दिया है / Given: HCF(306, 657) = 9.
  2. Step 2 सूत्र / Formula: a × b = HCF(a, b) × LCM(a, b).
  3. Step 3 306 × 657 = 201042. जाँच: 300 × 657 = 197100 तथा 6 × 657 = 3942, योग 201042.
  4. Step 4 LCM = 201042 ÷ 9 = 22338.
  5. Step 5 अतः सही विकल्प B है।
प्र. 2विकल्प / MCQ1 अंकवास्तविक संख्याएँ · Real Numbers
वर्ष / Years: 20132016201820202023

भिन्न 13/625 का दशमलव प्रसार कितने स्थानों के बाद समाप्त होता है?

The decimal expansion of 13/625 terminates after how many places of decimal?

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: C — 4

625 = 5^4. हर को 2^4 × 5^4 बनाने पर दशमलव अधिकतम घातांक 4 स्थानों बाद समाप्त होता है। 13/625 = 0.0208.

  1. Step 1 हर / Denominator: 625 = 5^4 (केवल 2 या 5 के गुणनखंड).
  2. Step 2 समाप्त होने वाले दशमलव के लिए हर का रूप 2^m × 5^n होना चाहिए। यहाँ m = 0, n = 4.
  3. Step 3 स्थानों की संख्या = max(m, n) = max(0, 4) = 4.
  4. Step 4 जाँच: 13/625 = 208/10000 = 0.0208 (4 दशमलव स्थान).
  5. Step 5 अतः उत्तर 4 है (विकल्प C).
प्र. 3विकल्प / MCQ1 अंकबहुपद · Polynomials
वर्ष / Years: 20132016201820202023

यदि α तथा β, बहुपद x² − 4x + 3 के शून्यक हैं, तो α² + β² का मान है

If α and β are the zeros of x² − 4x + 3, then α² + β² equals

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: B — 10

α + β = 4, αβ = 3. अतः α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 16 − 6 = 10.

  1. Step 1 तुलना x² − (α+β)x + αβ से: α + β = 4 तथा αβ = 3.
  2. Step 2 सूत्र: α² + β² = (α + β)² − 2αβ.
  3. Step 3 मान रखने पर: (4)² − 2(3) = 16 − 6 = 10.
  4. Step 4 जाँच: शून्यक 1 और 3 हैं (क्योंकि 1+3=4, 1×3=3), और 1 + 9 = 10.
  5. Step 5 अतः विकल्प B सही है।
प्र. 4विकल्प / MCQ1 अंकदो चर वाले रैखिक समीकरण · Pair of Linear Equations
वर्ष / Years: 201120142017201920222024

k के किस मान पर समीकरण 3x − y + 5 = 0 तथा 6x − 2y + k = 0 के अनंत हल होंगे?

For what value of k do the equations 3x − y + 5 = 0 and 6x − 2y + k = 0 have infinitely many solutions?

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: C — 10

अनंत हलों के लिए a1/a2 = b1/b2 = c1/c2. यहाँ 3/6 = −1/−2 = 5/k ⇒ k = 10.

  1. Step 1 तुलना a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से: a1=3, b1=−1, c1=5; a2=6, b2=−2, c2=k.
  2. Step 2 अनंत हल / Infinitely many: a1/a2 = b1/b2 = c1/c2.
  3. Step 3 3/6 = 1/2 तथा (−1)/(−2) = 1/2, अतः 5/k = 1/2.
  4. Step 4 k = 10. (k ≠ 0, जो यहाँ सत्य है।)
  5. Step 5 अतः विकल्प C सही है।
प्र. 5विकल्प / MCQ1 अंकद्विघात समीकरण · Quadratic Equations
वर्ष / Years: 20102013201620192022

समीकरण 2x² − 4x + 3 = 0 के मूल हैं

The roots of 2x² − 4x + 3 = 0 are

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: C — वास्तविक नहीं / not real

विविक्तकर D = b² − 4ac = 16 − 24 = −8 < 0. अतः कोई वास्तविक मूल नहीं।

  1. Step 1 तुलना ax² + bx + c = 0 से: a = 2, b = −4, c = 3.
  2. Step 2 विविक्तकर / Discriminant: D = b² − 4ac = (−4)² − 4(2)(3) = 16 − 24 = −8.
  3. Step 3 D < 0 ⇒ दोनों मूल अवाستیविक (सम्मिश्र) हैं।
  4. Step 4 अतः विकल्प C सही है।
प्र. 6विकल्प / MCQ1 अंकद्विघात समीकरण · Quadratic Equations
वर्ष / Years: 20112014201720202023

यदि x² − 7x + k = 0 के मूलों का योग उनके गुणनफल के बराबर है, तो k का मान है

If the sum of the roots of x² − 7x + k = 0 equals the product of the roots, then k is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: C — 7

योग = 7, गुणनफल = k. शर्त से 7 = k.

  1. Step 1 ax² + bx + c में योग = −b/a = 7 तथा गुणनफल = c/a = k.
  2. Step 2 दिया है योग = गुणनफल ⇒ 7 = k.
  3. Step 3 जाँच: x² − 7x + 7 = 0 के मूलों का योग 7 तथा गुणनफल 7, बराबर हैं।
  4. Step 4 अतः k = 7 (विकल्प C).
प्र. 7विकल्प / MCQ1 अंकसमांतर श्रेढ़ी · Arithmetic Progressions
वर्ष / Years: 201220152017201920212024

समांतर श्रेढ़ी 2, 7, 12, … का 15वाँ पद है

The 15th term of the AP 2, 7, 12, … is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: B — 72

a = 2, d = 5. a_n = a + (n−1)d ⇒ a15 = 2 + 14×5 = 72.

  1. Step 1 प्रथम पद a = 2, सार्व अंतर d = 7 − 2 = 5.
  2. Step 2 सूत्र: a_n = a + (n − 1)d.
  3. Step 3 a15 = 2 + (15 − 1)×5 = 2 + 70 = 72.
  4. Step 4 अतः विकल्प B सही है।
प्र. 8विकल्प / MCQ1 अंकत्रिभुज · Triangles
वर्ष / Years: 201120142016201820222024

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 4 : 7 के अनुपात में हैं। छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल 64 सेमी² हो, तो बड़े का क्षेत्रफल है

Two similar triangles have corresponding sides in the ratio 4 : 7. If the area of the smaller triangle is 64 cm², the area of the larger is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: B — 196 सेमी²

क्षेत्रफलों का अनुपात = (भुजाओं का अनुपात)² = 16 : 49. अतः बड़ा क्षेत्रफल = 64 × 49/16 = 196 सेमी².

  1. Step 1 समरूप त्रिभुजों में क्षेत्रफलों का अनुपात = संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग.
  2. Step 2 भुजा अनुपात 4 : 7 ⇒ क्षेत्रफल अनुपात 16 : 49.
  3. Step 3 64 / 16 = 4, अतः बड़ा क्षेत्रफल = 4 × 49 = 196 सेमी².
  4. Step 4 अतः विकल्प B सही है।
प्र. 9विकल्प / MCQ1 अंकवृत्त · Circles
वर्ष / Years: 20132015201820202023

बिंदु P, वृत्त के केंद्र O से 13 सेमी दूर है। वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। P से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई है

From a point P which is at a distance of 13 cm from the centre O of a circle of radius 5 cm, the length of the tangent drawn to the circle is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: C — 12 सेमी

स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है। PA² = OP² − r² = 169 − 25 = 144 ⇒ PA = 12 सेमी.

  1. Step 1 दिया है / Given: OP = 13 सेमी, त्रिज्या OA = 5 सेमी, स्पर्श बिंदु A.
  2. Step 2 प्रमेय: स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब ⇒ ∠OAP = 90°.
  3. Step 3 पाइथागोरस: PA² = OP² − OA² = 169 − 25 = 144.
  4. Step 4 PA = 12 सेमी (धनात्मक लंबाई).
  5. Step 5 अतः विकल्प C सही है।
प्र. 10विकल्प / MCQ1 अंकत्रिकोणमिति · Introduction to Trigonometry
वर्ष / Years: 201020142017201920222024

यदि cos θ = 5/13 तथा θ न्यून कोण है, तो tan θ का मान है

If cos θ = 5/13 and θ is acute, then tan θ is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: B — 12/5

sin θ = 12/13 (5-12-13 त्रिभुज). tan θ = sin/cos = 12/5.

  1. Step 1 cos θ = आसन्न/कर्ण = 5/13. मान लीजिए आसन्न = 5k, कर्ण = 13k.
  2. Step 2 विमुख = √(13² − 5²) k = √(169 − 25) k = √144 k = 12k.
  3. Step 3 sin θ = 12/13, tan θ = विमुख/आसन्न = 12/5.
  4. Step 4 θ न्यून है अतः सभी अनुपात धनात्मक हैं।
  5. Step 5 अतः विकल्प B सही है।
खण्ड ब — लघु उत्तरीय प्रश्न · Section B — Short answers
प्र. 11लघु उत्तरीय2 अंकवास्तविक संख्याएँ · Real Numbers
वर्ष / Years: 201120142016201820212024

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से 867 और 255 का HCF ज्ञात कीजिए।

Use Euclid's division algorithm to find HCF of 867 and 255.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶
  1. Step 1 यूक्लिड प्रमेयिका / Euclid: a = bq + r, 0 ≤ r < b, तब HCF(a, b) = HCF(b, r).
  2. Step 2 867 = 255 × 3 + 102 (क्योंकि 255 × 3 = 765 तथा 867 − 765 = 102).
  3. Step 3 255 = 102 × 2 + 51 (102 × 2 = 204 तथा 255 − 204 = 51).
  4. Step 4 102 = 51 × 2 + 0. शेष 0 आने पर भाजक HCF है।
  5. Step 5 अतः HCF(867, 255) = 51.

HCF(867, 255) = 51

स्व-अंक:
प्र. 12लघु उत्तरीय2 अंकबहुपद · Polynomials
वर्ष / Years: 20122015201720192022

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक 3 तथा −2 हों।

Find a quadratic polynomial whose zeros are 3 and −2.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶
  1. Step 1 शून्यक / Zeros: α = 3, β = −2.
  2. Step 2 योग / Sum: α + β = 3 + (−2) = 1. गुणनफल / Product: αβ = 3 × (−2) = −6.
  3. Step 3 सूत्र: p(x) = x² − (α+β)x + αβ.
  4. Step 4 अतः p(x) = x² − (1)x + (−6) = x² − x − 6.
  5. Step 5 जाँच: p(3) = 9 − 3 − 6 = 0 तथा p(−2) = 4 + 2 − 6 = 0.

x² − x − 6 (या इसका कोई अशून्य अदिश गुणज, जैसे 2x² − 2x − 12)

स्व-अंक:
प्र. 13लघु उत्तरीय2 अंकदो चर वाले रैखिक समीकरण · Pair of Linear Equations
वर्ष / Years: 20102013201620182021

हल कीजिए: 2x + y = 8 तथा x − y = 1.

Solve: 2x + y = 8 and x − y = 1.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶
  1. Step 1 दिया है / Given: 2x + y = 8 …(1) तथा x − y = 1 …(2).
  2. Step 2 (1) और (2) जोड़ने पर: 3x = 9 ⇒ x = 3.
  3. Step 3 (2) में x = 3 रखने पर: 3 − y = 1 ⇒ y = 2.
  4. Step 4 जाँच: 2(3) + 2 = 8 तथा 3 − 2 = 1. दोनों सत्य।
  5. Step 5 अतः हल x = 3, y = 2 है।

x = 3, y = 2

स्व-अंक:
प्र. 14लघु उत्तरीय2 अंकद्विघात समीकरण · Quadratic Equations
वर्ष / Years: 20122015201820212024

द्विघात सूत्र से 2x² − 7x + 3 = 0 को हल कीजिए।

Solve 2x² − 7x + 3 = 0 by the quadratic formula.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶
  1. Step 1 यहाँ a = 2, b = −7, c = 3.
  2. Step 2 D = b² − 4ac = 49 − 24 = 25 = 5².
  3. Step 3 सूत्र: x = [−b ± √D] / (2a) = [7 ± 5] / 4.
  4. Step 4 x = 12/4 = 3 अथवा x = 2/4 = 1/2.
  5. Step 5 जाँच: 2(9) − 7(3) + 3 = 0 तथा 2(1/4) − 7(1/2) + 3 = 0.5 − 3.5 + 3 = 0.

x = 3 अथवा x = 1/2

स्व-अंक:
प्र. 15लघु उत्तरीय2 अंकसमांतर श्रेढ़ी · Arithmetic Progressions
वर्ष / Years: 20112014201620182022

समांतर श्रेढ़ी 3, 7, 11, … के कितने पद लेने पर उनका योग 820 होगा?

How many terms of the AP 3, 7, 11, … must be taken so that their sum is 820?

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶
  1. Step 1 a = 3, d = 4, S_n = 820.
  2. Step 2 सूत्र: S_n = n/2 [2a + (n−1)d] ⇒ n/2 [6 + (n−1)4] = 820.
  3. Step 3 n[6 + 4n − 4] = 1640 ⇒ n(4n + 2) = 1640 ⇒ 2n(2n + 1) = 1640 ⇒ n(2n + 1) = 820.
  4. Step 4 2n² + n − 820 = 0. D = 1 + 6560 = 6561 = 81². n = (−1 + 81)/4 = 20 (धनात्मक).
  5. Step 5 जाँच: S20 = 20/2 [6 + 19×4] = 10(6 + 76) = 820.

n = 20

स्व-अंक:
प्र. 16लघु उत्तरीय2 अंकत्रिभुज · Triangles
वर्ष / Years: 20122015201720192023

15 मी लंबी एक सीढ़ी ऊर्ध्वाधर दीवार से सटाई गई है। सीढ़ी का पाँव दीवार से 9 मी दूर है। सीढ़ी दीवार पर कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है?

A ladder 15 m long leans against a vertical wall. The foot of the ladder is 9 m from the wall. How high does the ladder reach on the wall?

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶
  1. Step 1 दिया है / Given: कर्ण (सीढ़ी) = 15 मी, आधार = 9 मी, ऊँचाई = h.
  2. Step 2 पाइथागोरस / Pythagoras: h² + 9² = 15².
  3. Step 3 h² = 225 − 81 = 144 ⇒ h = 12 (धनात्मक).
  4. Step 4 जाँच: 9-12-15 त्रिभुज 3-4-5 का 3 गुना है (3×3, 4×3, 5×3).
  5. Step 5 अतः सीढ़ी दीवार पर 12 मी ऊँचाई तक पहुँचती है।

ऊँचाई = 12 मी

स्व-अंक:
प्र. 17लघु उत्तरीय2 अंकवृत्त · Circles
वर्ष / Years: 20112014201720192022

बाह्य बिंदु P से वृत्त (केंद्र O) पर PQ तथा PR स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि ∠QOR = 140° हो, तो ∠QPR ज्ञात कीजिए।

PQ and PR are tangents from an external point P to a circle with centre O. If ∠QOR = 140°, find ∠QPR.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶
  1. Step 1 दिया है / Given: PQ, PR स्पर्श रेखाएँ, ∠QOR = 140°.
  2. Step 2 OQ ⊥ PQ तथा OR ⊥ PR (स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या) ⇒ ∠OQP = ∠ORP = 90°.
  3. Step 3 चतुर्भुज OQPR के चारों कोणों का योग 360° है।
  4. Step 4 ∠QPR = 360° − 90° − 90° − 140° = 40°. (अथवा ∠QOR + ∠QPR = 180°.)
  5. Step 5 अतः ∠QPR = 40°.

∠QPR = 40°

स्व-अंक:
प्र. 18लघु उत्तरीय2 अंकत्रिकोणमिति · Introduction to Trigonometry
वर्ष / Years: 20122015201820212023

यदि sin θ = 8/17 तथा θ न्यून कोण है, तो cos θ तथा tan θ ज्ञात कीजिए।

If sin θ = 8/17 and θ is acute, find cos θ and tan θ.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶
  1. Step 1 sin θ = विमुख/कर्ण = 8/17.
  2. Step 2 cos²θ + sin²θ = 1 ⇒ cos²θ = 1 − 64/289 = 225/289 ⇒ cos θ = 15/17 (न्यून कोण, धनात्मक).
  3. Step 3 tan θ = sin θ / cos θ = (8/17) / (15/17) = 8/15.
  4. Step 4 जाँच: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17².
  5. Step 5 अतः cos θ = 15/17, tan θ = 8/15.

cos θ = 15/17, tan θ = 8/15

स्व-अंक:
खण्ड स — दीर्घ उत्तरीय प्रश्न · Section C — Long answers
प्र. 19दीर्घ उत्तरीय4 अंकदो चर वाले रैखिक समीकरण · Pair of Linear Equations
वर्ष / Years: 20122015201820202023

2 किग्रा सेब और 3 किग्रा संतरे का मूल्य ₹140 है। 3 किग्रा सेब और 2 किग्रा संतरे का मूल्य ₹160 है। प्रत्येक फल का 1 किग्रा मूल्य ज्ञात कीजिए।

The cost of 2 kg apples and 3 kg oranges is ₹140. The cost of 3 kg apples and 2 kg oranges is ₹160. Find the cost of 1 kg of each fruit.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶
  1. Step 1 दिया है / Given: सेब का 1 किग्रा मूल्य = ₹x, संतरे का 1 किग्रा मूल्य = ₹y.
  2. Step 2 समीकरण: 2x + 3y = 140 …(1) तथा 3x + 2y = 160 …(2).
  3. Step 3 (1)×2 तथा (2)×3: 4x + 6y = 280 …(3); 9x + 6y = 480 …(4).
  4. Step 4 (4) − (3): 5x = 200 ⇒ x = 40. (1) में: 80 + 3y = 140 ⇒ 3y = 60 ⇒ y = 20.
  5. Step 5 जाँच: 2×40 + 3×20 = 80 + 60 = 140 तथा 3×40 + 2×20 = 120 + 40 = 160.
  6. Step 6 अतः सेब ₹40/किग्रा तथा संतरा ₹20/किग्रा।

सेब = ₹40 प्रति किग्रा, संतरा = ₹20 प्रति किग्रा

स्व-अंक:
प्र. 20दीर्घ उत्तरीय4 अंकद्विघात समीकरण · Quadratic Equations
वर्ष / Years: 201020142016201920222024

एक कार 300 किमी दूरी समान चाल से तय करती है। यदि चाल 10 किमी/घं अधिक होती, तो समय 1 घंटा कम लगता। कार की मूल चाल ज्ञात कीजिए।

A car covers a distance of 300 km at a uniform speed. If the speed had been 10 km/h more, it would have taken 1 hour less. Find the original speed of the car.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶
  1. Step 1 दिया है / Given: दूरी = 300 किमी. मान लीजिए मूल चाल = x किमी/घं (x > 0).
  2. Step 2 समय मूल = 300/x घंटे, नई चाल पर समय = 300/(x+10) घंटे.
  3. Step 3 शर्त: 300/x − 300/(x+10) = 1 ⇒ 300[(x+10 − x) / (x(x+10))] = 1.
  4. Step 4 3000 = x² + 10x ⇒ x² + 10x − 3000 = 0.
  5. Step 5 D = 100 + 12000 = 12100 = 110². x = [−10 ± 110]/2. धनात्मक मूल: x = 100/2 = 50.
  6. Step 6 जाँच: 300/50 = 6 घंटे तथा 300/60 = 5 घंटे (1 घंटा कम). अतः चाल 50 किमी/घं।

मूल चाल = 50 किमी/घंटा

स्व-अंक:
प्र. 21दीर्घ उत्तरीय4 अंकसमांतर श्रेढ़ी · Arithmetic Progressions
वर्ष / Years: 20102013201720202023

किसी समांतर श्रेढ़ी का 4था पद 11 तथा 7वाँ पद 20 है। 15वाँ पद तथा प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

The 4th term of an AP is 11 and the 7th term is 20. Find the 15th term and the sum of the first 15 terms.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶
  1. Step 1 दिया है / Given: a4 = 11, a7 = 20. अर्थात् a + 3d = 11 …(1), a + 6d = 20 …(2).
  2. Step 2 (2) − (1): 3d = 9 ⇒ d = 3. (1) में: a + 9 = 11 ⇒ a = 2.
  3. Step 3 सूत्र: a_n = a + (n−1)d ⇒ a15 = 2 + 14×3 = 2 + 42 = 44.
  4. Step 4 सूत्र: S_n = n/2 [2a + (n−1)d] ⇒ S15 = 15/2 [4 + 14×3] = 15/2 × 46 = 15 × 23 = 345.
  5. Step 5 जाँच: a4 = 2+9=11, a7=2+18=20. दोनों दिए गए मानों से मेल खाते हैं।
  6. Step 6 अतः 15वाँ पद 44 तथा S15 = 345।

a15 = 44, S15 = 345

स्व-अंक:
प्र. 22दीर्घ उत्तरीय4 अंकत्रिभुज · Triangles
वर्ष / Years: 201020132016201920212024

△ABC में DE ∥ BC है, जहाँ D, AB पर तथा E, AC पर है। यदि AD = 1.5 सेमी, BD = 3 सेमी तथा AE = 1.8 सेमी हो, तो EC तथा AC ज्ञात कीजिए।

In triangle ABC, DE ∥ BC, with D on AB and E on AC. If AD = 1.5 cm, BD = 3 cm and AE = 1.8 cm, find EC and AC.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶
  1. Step 1 दिया है / Given: DE ∥ BC, AD = 1.5 सेमी, BD = 3 सेमी, AE = 1.8 सेमी.
  2. Step 2 थेल्स / मूल आनुपातिकता प्रमेय (BPT): AD/DB = AE/EC.
  3. Step 3 1.5 / 3 = 1.8 / EC ⇒ 1/2 = 1.8 / EC ⇒ EC = 1.8 × 2 = 3.6 सेमी.
  4. Step 4 AC = AE + EC = 1.8 + 3.6 = 5.4 सेमी.
  5. Step 5 वैकल्पिक जाँच: AD/AB = 1.5/4.5 = 1/3 तथा AE/AC = 1.8/5.4 = 1/3 (समान).
  6. Step 6 अतः EC = 3.6 सेमी तथा AC = 5.4 सेमी।

EC = 3.6 सेमी, AC = 5.4 सेमी

स्व-अंक:
प्र. 23दीर्घ उत्तरीय4 अंकत्रिकोणमिति · Introduction to Trigonometry
वर्ष / Years: 201120132016201920222024

सिद्ध कीजिए: (sin θ + cos θ)(tan θ + cot θ) = sec θ + cosec θ.

Prove that (sin θ + cos θ)(tan θ + cot θ) = sec θ + cosec θ.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶
  1. Step 1 बायाँ पक्ष / LHS: (sin θ + cos θ)(tan θ + cot θ).
  2. Step 2 tan θ + cot θ = sinθ/cosθ + cosθ/sinθ = (sin²θ + cos²θ)/(sinθ cosθ) = 1/(sinθ cosθ).
  3. Step 3 LHS = (sin θ + cos θ) × 1/(sin θ cos θ) = sinθ/(sinθ cosθ) + cosθ/(sinθ cosθ).
  4. Step 4 = 1/cos θ + 1/sin θ = sec θ + cosec θ = दायाँ पक्ष / RHS.
  5. Step 5 अतः LHS = RHS. इति सिद्धम्।

इति सिद्धम् / Hence proved.

स्व-अंक:

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