UPMSP · हाई स्कूल परीक्षा · गणित

गणित — 2010 से रिपीटेड प्रश्न व हल

68 प्रश्न: 30 विकल्प, 22 लघु, 16 दीर्घ। प्रत्येक प्रश्न पर वर्ष टैग। गणित में पूरा step-by-step हल।

बोर्ड पेपर जैसा टेस्ट दें सिलेबस / अंक सूत्र शीट

प्र. 1विकल्प / MCQ1 अंकवास्तविक संख्याएँ · Real Numbers

वर्ष / Years: 201220152017201920222024

यदि HCF(306, 657) = 9 हो, तो LCM(306, 657) का मान है

If HCF(306, 657) = 9, then LCM(306, 657) is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: B — 22338

दो धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल = HCF × LCM. अतः LCM = 306 × 657 ÷ 9 = 22338.

Step 1 दिया है / Given: HCF(306, 657) = 9.
Step 2 सूत्र / Formula: a × b = HCF(a, b) × LCM(a, b).
Step 3 306 × 657 = 201042. जाँच: 300 × 657 = 197100 तथा 6 × 657 = 3942, योग 201042.
Step 4 LCM = 201042 ÷ 9 = 22338.
Step 5 अतः सही विकल्प B है।

प्र. 2विकल्प / MCQ1 अंकवास्तविक संख्याएँ · Real Numbers

वर्ष / Years: 20132016201820202023

भिन्न 13/625 का दशमलव प्रसार कितने स्थानों के बाद समाप्त होता है?

The decimal expansion of 13/625 terminates after how many places of decimal?

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: C — 4

625 = 5^4. हर को 2^4 × 5^4 बनाने पर दशमलव अधिकतम घातांक 4 स्थानों बाद समाप्त होता है। 13/625 = 0.0208.

Step 1 हर / Denominator: 625 = 5^4 (केवल 2 या 5 के गुणनखंड).
Step 2 समाप्त होने वाले दशमलव के लिए हर का रूप 2^m × 5^n होना चाहिए। यहाँ m = 0, n = 4.
Step 3 स्थानों की संख्या = max(m, n) = max(0, 4) = 4.
Step 4 जाँच: 13/625 = 208/10000 = 0.0208 (4 दशमलव स्थान).
Step 5 अतः उत्तर 4 है (विकल्प C).

प्र. 3लघु उत्तरीय2 अंकवास्तविक संख्याएँ · Real Numbers

वर्ष / Years: 201120142016201820212024

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से 867 और 255 का HCF ज्ञात कीजिए।

Use Euclid's division algorithm to find HCF of 867 and 255.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 यूक्लिड प्रमेयिका / Euclid: a = bq + r, 0 ≤ r < b, तब HCF(a, b) = HCF(b, r).
Step 2 867 = 255 × 3 + 102 (क्योंकि 255 × 3 = 765 तथा 867 − 765 = 102).
Step 3 255 = 102 × 2 + 51 (102 × 2 = 204 तथा 255 − 204 = 51).
Step 4 102 = 51 × 2 + 0. शेष 0 आने पर भाजक HCF है।
Step 5 अतः HCF(867, 255) = 51.

HCF(867, 255) = 51

स्व-अंक:

प्र. 4विकल्प / MCQ1 अंकबहुपद · Polynomials

वर्ष / Years: 20132016201820202023

यदि α तथा β, बहुपद x² − 4x + 3 के शून्यक हैं, तो α² + β² का मान है

If α and β are the zeros of x² − 4x + 3, then α² + β² equals

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: B — 10

α + β = 4, αβ = 3. अतः α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 16 − 6 = 10.

Step 1 तुलना x² − (α+β)x + αβ से: α + β = 4 तथा αβ = 3.
Step 2 सूत्र: α² + β² = (α + β)² − 2αβ.
Step 3 मान रखने पर: (4)² − 2(3) = 16 − 6 = 10.
Step 4 जाँच: शून्यक 1 और 3 हैं (क्योंकि 1+3=4, 1×3=3), और 1 + 9 = 10.
Step 5 अतः विकल्प B सही है।

प्र. 5लघु उत्तरीय2 अंकबहुपद · Polynomials

वर्ष / Years: 20122015201720192022

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक 3 तथा −2 हों।

Find a quadratic polynomial whose zeros are 3 and −2.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 शून्यक / Zeros: α = 3, β = −2.
Step 2 योग / Sum: α + β = 3 + (−2) = 1. गुणनफल / Product: αβ = 3 × (−2) = −6.
Step 3 सूत्र: p(x) = x² − (α+β)x + αβ.
Step 4 अतः p(x) = x² − (1)x + (−6) = x² − x − 6.
Step 5 जाँच: p(3) = 9 − 3 − 6 = 0 तथा p(−2) = 4 + 2 − 6 = 0.

x² − x − 6 (या इसका कोई अशून्य अदिश गुणज, जैसे 2x² − 2x − 12)

स्व-अंक:

प्र. 6विकल्प / MCQ1 अंकदो चर वाले रैखिक समीकरण · Pair of Linear Equations

वर्ष / Years: 201120142017201920222024

k के किस मान पर समीकरण 3x − y + 5 = 0 तथा 6x − 2y + k = 0 के अनंत हल होंगे?

For what value of k do the equations 3x − y + 5 = 0 and 6x − 2y + k = 0 have infinitely many solutions?

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: C — 10

अनंत हलों के लिए a1/a2 = b1/b2 = c1/c2. यहाँ 3/6 = −1/−2 = 5/k ⇒ k = 10.

Step 1 तुलना a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से: a1=3, b1=−1, c1=5; a2=6, b2=−2, c2=k.
Step 2 अनंत हल / Infinitely many: a1/a2 = b1/b2 = c1/c2.
Step 3 3/6 = 1/2 तथा (−1)/(−2) = 1/2, अतः 5/k = 1/2.
Step 4 k = 10. (k ≠ 0, जो यहाँ सत्य है।)
Step 5 अतः विकल्प C सही है।

प्र. 7लघु उत्तरीय2 अंकदो चर वाले रैखिक समीकरण · Pair of Linear Equations

वर्ष / Years: 20102013201620182021

हल कीजिए: 2x + y = 8 तथा x − y = 1.

Solve: 2x + y = 8 and x − y = 1.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 दिया है / Given: 2x + y = 8 …(1) तथा x − y = 1 …(2).
Step 2 (1) और (2) जोड़ने पर: 3x = 9 ⇒ x = 3.
Step 3 (2) में x = 3 रखने पर: 3 − y = 1 ⇒ y = 2.
Step 4 जाँच: 2(3) + 2 = 8 तथा 3 − 2 = 1. दोनों सत्य।
Step 5 अतः हल x = 3, y = 2 है।

x = 3, y = 2

स्व-अंक:

प्र. 8दीर्घ उत्तरीय4 अंकदो चर वाले रैखिक समीकरण · Pair of Linear Equations

वर्ष / Years: 20122015201820202023

2 किग्रा सेब और 3 किग्रा संतरे का मूल्य ₹140 है। 3 किग्रा सेब और 2 किग्रा संतरे का मूल्य ₹160 है। प्रत्येक फल का 1 किग्रा मूल्य ज्ञात कीजिए।

The cost of 2 kg apples and 3 kg oranges is ₹140. The cost of 3 kg apples and 2 kg oranges is ₹160. Find the cost of 1 kg of each fruit.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 दिया है / Given: सेब का 1 किग्रा मूल्य = ₹x, संतरे का 1 किग्रा मूल्य = ₹y.
Step 2 समीकरण: 2x + 3y = 140 …(1) तथा 3x + 2y = 160 …(2).
Step 3 (1)×2 तथा (2)×3: 4x + 6y = 280 …(3); 9x + 6y = 480 …(4).
Step 4 (4) − (3): 5x = 200 ⇒ x = 40. (1) में: 80 + 3y = 140 ⇒ 3y = 60 ⇒ y = 20.
Step 5 जाँच: 2×40 + 3×20 = 80 + 60 = 140 तथा 3×40 + 2×20 = 120 + 40 = 160.
Step 6 अतः सेब ₹40/किग्रा तथा संतरा ₹20/किग्रा।

सेब = ₹40 प्रति किग्रा, संतरा = ₹20 प्रति किग्रा

स्व-अंक:

प्र. 9विकल्प / MCQ1 अंकद्विघात समीकरण · Quadratic Equations

वर्ष / Years: 20102013201620192022

समीकरण 2x² − 4x + 3 = 0 के मूल हैं

The roots of 2x² − 4x + 3 = 0 are

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सही विकल्प: C — वास्तविक नहीं / not real

विविक्तकर D = b² − 4ac = 16 − 24 = −8 < 0. अतः कोई वास्तविक मूल नहीं।

Step 1 तुलना ax² + bx + c = 0 से: a = 2, b = −4, c = 3.
Step 2 विविक्तकर / Discriminant: D = b² − 4ac = (−4)² − 4(2)(3) = 16 − 24 = −8.
Step 3 D < 0 ⇒ दोनों मूल अवाستیविक (सम्मिश्र) हैं।
Step 4 अतः विकल्प C सही है।

प्र. 10विकल्प / MCQ1 अंकद्विघात समीकरण · Quadratic Equations

वर्ष / Years: 20112014201720202023

यदि x² − 7x + k = 0 के मूलों का योग उनके गुणनफल के बराबर है, तो k का मान है

If the sum of the roots of x² − 7x + k = 0 equals the product of the roots, then k is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: C — 7

योग = 7, गुणनफल = k. शर्त से 7 = k.

Step 1 ax² + bx + c में योग = −b/a = 7 तथा गुणनफल = c/a = k.
Step 2 दिया है योग = गुणनफल ⇒ 7 = k.
Step 3 जाँच: x² − 7x + 7 = 0 के मूलों का योग 7 तथा गुणनफल 7, बराबर हैं।
Step 4 अतः k = 7 (विकल्प C).

प्र. 11लघु उत्तरीय2 अंकद्विघात समीकरण · Quadratic Equations

वर्ष / Years: 20122015201820212024

द्विघात सूत्र से 2x² − 7x + 3 = 0 को हल कीजिए।

Solve 2x² − 7x + 3 = 0 by the quadratic formula.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 यहाँ a = 2, b = −7, c = 3.
Step 2 D = b² − 4ac = 49 − 24 = 25 = 5².
Step 3 सूत्र: x = [−b ± √D] / (2a) = [7 ± 5] / 4.
Step 4 x = 12/4 = 3 अथवा x = 2/4 = 1/2.
Step 5 जाँच: 2(9) − 7(3) + 3 = 0 तथा 2(1/4) − 7(1/2) + 3 = 0.5 − 3.5 + 3 = 0.

x = 3 अथवा x = 1/2

स्व-अंक:

प्र. 12दीर्घ उत्तरीय4 अंकद्विघात समीकरण · Quadratic Equations

वर्ष / Years: 201020142016201920222024

एक कार 300 किमी दूरी समान चाल से तय करती है। यदि चाल 10 किमी/घं अधिक होती, तो समय 1 घंटा कम लगता। कार की मूल चाल ज्ञात कीजिए।

A car covers a distance of 300 km at a uniform speed. If the speed had been 10 km/h more, it would have taken 1 hour less. Find the original speed of the car.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 दिया है / Given: दूरी = 300 किमी. मान लीजिए मूल चाल = x किमी/घं (x > 0).
Step 2 समय मूल = 300/x घंटे, नई चाल पर समय = 300/(x+10) घंटे.
Step 3 शर्त: 300/x − 300/(x+10) = 1 ⇒ 300[(x+10 − x) / (x(x+10))] = 1.
Step 4 3000 = x² + 10x ⇒ x² + 10x − 3000 = 0.
Step 5 D = 100 + 12000 = 12100 = 110². x = [−10 ± 110]/2. धनात्मक मूल: x = 100/2 = 50.
Step 6 जाँच: 300/50 = 6 घंटे तथा 300/60 = 5 घंटे (1 घंटा कम). अतः चाल 50 किमी/घं।

मूल चाल = 50 किमी/घंटा

स्व-अंक:

प्र. 13विकल्प / MCQ1 अंकसमांतर श्रेढ़ी · Arithmetic Progressions

वर्ष / Years: 201220152017201920212024

समांतर श्रेढ़ी 2, 7, 12, … का 15वाँ पद है

The 15th term of the AP 2, 7, 12, … is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: B — 72

a = 2, d = 5. a_n = a + (n−1)d ⇒ a15 = 2 + 14×5 = 72.

Step 1 प्रथम पद a = 2, सार्व अंतर d = 7 − 2 = 5.
Step 2 सूत्र: a_n = a + (n − 1)d.
Step 3 a15 = 2 + (15 − 1)×5 = 2 + 70 = 72.
Step 4 अतः विकल्प B सही है।

प्र. 14लघु उत्तरीय2 अंकसमांतर श्रेढ़ी · Arithmetic Progressions

वर्ष / Years: 20112014201620182022

समांतर श्रेढ़ी 3, 7, 11, … के कितने पद लेने पर उनका योग 820 होगा?

How many terms of the AP 3, 7, 11, … must be taken so that their sum is 820?

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 a = 3, d = 4, S_n = 820.
Step 2 सूत्र: S_n = n/2 [2a + (n−1)d] ⇒ n/2 [6 + (n−1)4] = 820.
Step 3 n[6 + 4n − 4] = 1640 ⇒ n(4n + 2) = 1640 ⇒ 2n(2n + 1) = 1640 ⇒ n(2n + 1) = 820.
Step 4 2n² + n − 820 = 0. D = 1 + 6560 = 6561 = 81². n = (−1 + 81)/4 = 20 (धनात्मक).
Step 5 जाँच: S20 = 20/2 [6 + 19×4] = 10(6 + 76) = 820.

n = 20

स्व-अंक:

प्र. 15दीर्घ उत्तरीय4 अंकसमांतर श्रेढ़ी · Arithmetic Progressions

वर्ष / Years: 20102013201720202023

किसी समांतर श्रेढ़ी का 4था पद 11 तथा 7वाँ पद 20 है। 15वाँ पद तथा प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

The 4th term of an AP is 11 and the 7th term is 20. Find the 15th term and the sum of the first 15 terms.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 दिया है / Given: a4 = 11, a7 = 20. अर्थात् a + 3d = 11 …(1), a + 6d = 20 …(2).
Step 2 (2) − (1): 3d = 9 ⇒ d = 3. (1) में: a + 9 = 11 ⇒ a = 2.
Step 3 सूत्र: a_n = a + (n−1)d ⇒ a15 = 2 + 14×3 = 2 + 42 = 44.
Step 4 सूत्र: S_n = n/2 [2a + (n−1)d] ⇒ S15 = 15/2 [4 + 14×3] = 15/2 × 46 = 15 × 23 = 345.
Step 5 जाँच: a4 = 2+9=11, a7=2+18=20. दोनों दिए गए मानों से मेल खाते हैं।
Step 6 अतः 15वाँ पद 44 तथा S15 = 345।

a15 = 44, S15 = 345

स्व-अंक:

प्र. 16विकल्प / MCQ1 अंकत्रिभुज · Triangles

वर्ष / Years: 201120142016201820222024

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 4 : 7 के अनुपात में हैं। छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल 64 सेमी² हो, तो बड़े का क्षेत्रफल है

Two similar triangles have corresponding sides in the ratio 4 : 7. If the area of the smaller triangle is 64 cm², the area of the larger is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: B — 196 सेमी²

क्षेत्रफलों का अनुपात = (भुजाओं का अनुपात)² = 16 : 49. अतः बड़ा क्षेत्रफल = 64 × 49/16 = 196 सेमी².

Step 1 समरूप त्रिभुजों में क्षेत्रफलों का अनुपात = संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग.
Step 2 भुजा अनुपात 4 : 7 ⇒ क्षेत्रफल अनुपात 16 : 49.
Step 3 64 / 16 = 4, अतः बड़ा क्षेत्रफल = 4 × 49 = 196 सेमी².
Step 4 अतः विकल्प B सही है।

प्र. 17लघु उत्तरीय2 अंकत्रिभुज · Triangles

वर्ष / Years: 20122015201720192023

15 मी लंबी एक सीढ़ी ऊर्ध्वाधर दीवार से सटाई गई है। सीढ़ी का पाँव दीवार से 9 मी दूर है। सीढ़ी दीवार पर कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है?

A ladder 15 m long leans against a vertical wall. The foot of the ladder is 9 m from the wall. How high does the ladder reach on the wall?

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 दिया है / Given: कर्ण (सीढ़ी) = 15 मी, आधार = 9 मी, ऊँचाई = h.
Step 2 पाइथागोरस / Pythagoras: h² + 9² = 15².
Step 3 h² = 225 − 81 = 144 ⇒ h = 12 (धनात्मक).
Step 4 जाँच: 9-12-15 त्रिभुज 3-4-5 का 3 गुना है (3×3, 4×3, 5×3).
Step 5 अतः सीढ़ी दीवार पर 12 मी ऊँचाई तक पहुँचती है।

ऊँचाई = 12 मी

स्व-अंक:

प्र. 18दीर्घ उत्तरीय4 अंकत्रिभुज · Triangles

वर्ष / Years: 201020132016201920212024

△ABC में DE ∥ BC है, जहाँ D, AB पर तथा E, AC पर है। यदि AD = 1.5 सेमी, BD = 3 सेमी तथा AE = 1.8 सेमी हो, तो EC तथा AC ज्ञात कीजिए।

In triangle ABC, DE ∥ BC, with D on AB and E on AC. If AD = 1.5 cm, BD = 3 cm and AE = 1.8 cm, find EC and AC.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 दिया है / Given: DE ∥ BC, AD = 1.5 सेमी, BD = 3 सेमी, AE = 1.8 सेमी.
Step 2 थेल्स / मूल आनुपातिकता प्रमेय (BPT): AD/DB = AE/EC.
Step 3 1.5 / 3 = 1.8 / EC ⇒ 1/2 = 1.8 / EC ⇒ EC = 1.8 × 2 = 3.6 सेमी.
Step 4 AC = AE + EC = 1.8 + 3.6 = 5.4 सेमी.
Step 5 वैकल्पिक जाँच: AD/AB = 1.5/4.5 = 1/3 तथा AE/AC = 1.8/5.4 = 1/3 (समान).
Step 6 अतः EC = 3.6 सेमी तथा AC = 5.4 सेमी।

EC = 3.6 सेमी, AC = 5.4 सेमी

स्व-अंक:

प्र. 19विकल्प / MCQ1 अंकवृत्त · Circles

वर्ष / Years: 20132015201820202023

बिंदु P, वृत्त के केंद्र O से 13 सेमी दूर है। वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। P से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई है

From a point P which is at a distance of 13 cm from the centre O of a circle of radius 5 cm, the length of the tangent drawn to the circle is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: C — 12 सेमी

स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है। PA² = OP² − r² = 169 − 25 = 144 ⇒ PA = 12 सेमी.

Step 1 दिया है / Given: OP = 13 सेमी, त्रिज्या OA = 5 सेमी, स्पर्श बिंदु A.
Step 2 प्रमेय: स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब ⇒ ∠OAP = 90°.
Step 3 पाइथागोरस: PA² = OP² − OA² = 169 − 25 = 144.
Step 4 PA = 12 सेमी (धनात्मक लंबाई).
Step 5 अतः विकल्प C सही है।

प्र. 20लघु उत्तरीय2 अंकवृत्त · Circles

वर्ष / Years: 20112014201720192022

बाह्य बिंदु P से वृत्त (केंद्र O) पर PQ तथा PR स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि ∠QOR = 140° हो, तो ∠QPR ज्ञात कीजिए।

PQ and PR are tangents from an external point P to a circle with centre O. If ∠QOR = 140°, find ∠QPR.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 दिया है / Given: PQ, PR स्पर्श रेखाएँ, ∠QOR = 140°.
Step 2 OQ ⊥ PQ तथा OR ⊥ PR (स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या) ⇒ ∠OQP = ∠ORP = 90°.
Step 3 चतुर्भुज OQPR के चारों कोणों का योग 360° है।
Step 4 ∠QPR = 360° − 90° − 90° − 140° = 40°. (अथवा ∠QOR + ∠QPR = 180°.)
Step 5 अतः ∠QPR = 40°.

∠QPR = 40°

स्व-अंक:

प्र. 21विकल्प / MCQ1 अंकत्रिकोणमिति · Introduction to Trigonometry

वर्ष / Years: 201020142017201920222024

यदि cos θ = 5/13 तथा θ न्यून कोण है, तो tan θ का मान है

If cos θ = 5/13 and θ is acute, then tan θ is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: B — 12/5

sin θ = 12/13 (5-12-13 त्रिभुज). tan θ = sin/cos = 12/5.

Step 1 cos θ = आसन्न/कर्ण = 5/13. मान लीजिए आसन्न = 5k, कर्ण = 13k.
Step 2 विमुख = √(13² − 5²) k = √(169 − 25) k = √144 k = 12k.
Step 3 sin θ = 12/13, tan θ = विमुख/आसन्न = 12/5.
Step 4 θ न्यून है अतः सभी अनुपात धनात्मक हैं।
Step 5 अतः विकल्प B सही है।

प्र. 22लघु उत्तरीय2 अंकत्रिकोणमिति · Introduction to Trigonometry

वर्ष / Years: 20122015201820212023

यदि sin θ = 8/17 तथा θ न्यून कोण है, तो cos θ तथा tan θ ज्ञात कीजिए।

If sin θ = 8/17 and θ is acute, find cos θ and tan θ.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 sin θ = विमुख/कर्ण = 8/17.
Step 2 cos²θ + sin²θ = 1 ⇒ cos²θ = 1 − 64/289 = 225/289 ⇒ cos θ = 15/17 (न्यून कोण, धनात्मक).
Step 3 tan θ = sin θ / cos θ = (8/17) / (15/17) = 8/15.
Step 4 जाँच: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17².
Step 5 अतः cos θ = 15/17, tan θ = 8/15.

cos θ = 15/17, tan θ = 8/15

स्व-अंक:

प्र. 23दीर्घ उत्तरीय4 अंकत्रिकोणमिति · Introduction to Trigonometry

वर्ष / Years: 201120132016201920222024

सिद्ध कीजिए: (sin θ + cos θ)(tan θ + cot θ) = sec θ + cosec θ.

Prove that (sin θ + cos θ)(tan θ + cot θ) = sec θ + cosec θ.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 बायाँ पक्ष / LHS: (sin θ + cos θ)(tan θ + cot θ).
Step 2 tan θ + cot θ = sinθ/cosθ + cosθ/sinθ = (sin²θ + cos²θ)/(sinθ cosθ) = 1/(sinθ cosθ).
Step 3 LHS = (sin θ + cos θ) × 1/(sin θ cos θ) = sinθ/(sinθ cosθ) + cosθ/(sinθ cosθ).
Step 4 = 1/cos θ + 1/sin θ = sec θ + cosec θ = दायाँ पक्ष / RHS.
Step 5 अतः LHS = RHS. इति सिद्धम्।

इति सिद्धम् / Hence proved.

स्व-अंक:

प्र. 24विकल्प / MCQ1 अंकऊँचाई और दूरी · Heights and Distances

वर्ष / Years: 20122016201820212023

एक ऊर्ध्वाधर मीनार की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर है। सूर्य का उन्नयन कोण है

The shadow of a vertical tower is equal to its height. The angle of elevation of the sun is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: B — 45°

tan θ = ऊँचाई/छाया = 1 ⇒ θ = 45°.

Step 1 मान लीजिए मीनार की ऊँचाई = छाया = h.
Step 2 tan θ = विपरीत/आसन्न = h/h = 1.
Step 3 tan 45° = 1 ⇒ θ = 45°.
Step 4 अतः विकल्प B सही है।

प्र. 25दीर्घ उत्तरीय4 अंकऊँचाई और दूरी · Heights and Distances

वर्ष / Years: 201020142017201920222024

भूमि के एक बिंदु से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ओर 48 मी चलने के बाद उन्नयन कोण 60° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

The angle of elevation of the top of a tower from a point on the ground is 30°. After walking 48 m towards the tower, the angle of elevation becomes 60°. Find the height of the tower.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 दिया है / Given: पहले बिंदु से कोण 30°, 48 मी पास आने पर कोण 60°. ऊँचाई = h, बाद की क्षैतिज दूरी = x.
Step 2 सूत्र: tan 60° = h/x ⇒ √3 = h/x ⇒ h = √3 x …(1).
Step 3 tan 30° = h/(x+48) ⇒ 1/√3 = h/(x+48) …(2).
Step 4 (1) को (2) में: √3 x / (x+48) = 1/√3 ⇒ 3x = x + 48 ⇒ 2x = 48 ⇒ x = 24.
Step 5 h = √3 × 24 = 24√3 मी.
Step 6 जाँच: tan 60° = 24√3/24 = √3; tan 30° = 24√3/72 = √3/3 = 1/√3. अतः ऊँचाई 24√3 मी।

ऊँचाई = 24√3 मी

स्व-अंक:

प्र. 26विकल्प / MCQ1 अंकनिर्देशांक ज्यामिति · Coordinate Geometry

वर्ष / Years: 20132015201920222024

बिंदुओं (2, −3) तथा (5, 1) के बीच की दूरी है

The distance between the points (2, −3) and (5, 1) is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: C — 5

दूरी = √[(5−2)² + (1+3)²] = √(9+16) = √25 = 5.

Step 1 दूरी सूत्र / Distance: √[(x2−x1)² + (y2−y1)²].
Step 2 x2−x1 = 5−2 = 3, y2−y1 = 1−(−3) = 4.
Step 3 दूरी = √(9 + 16) = √25 = 5.
Step 4 अतः विकल्प C सही है।

प्र. 27लघु उत्तरीय2 अंकनिर्देशांक ज्यामिति · Coordinate Geometry

वर्ष / Years: 20112014201720202023

वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (1, 2) तथा (7, 8) को मिलाने वाले रेखाखंड को 1 : 2 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

Find the coordinates of the point which divides the line segment joining (1, 2) and (7, 8) internally in the ratio 1 : 2.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 आंतरिक विभाजन सूत्र / Section formula: ((m x2 + n x1)/(m+n), (m y2 + n y1)/(m+n)).
Step 2 यहाँ m = 1, n = 2, (x1,y1)=(1,2), (x2,y2)=(7,8).
Step 3 x = (1×7 + 2×1)/3 = (7+2)/3 = 3.
Step 4 y = (1×8 + 2×2)/3 = (8+4)/3 = 4.
Step 5 अतः बिंदु (3, 4) है। जाँच: (3,4) से (1,2) तक सदिश (−2,−2) तथा (3,4) से (7,8) तक (4,4) — अनुपात 1 : 2.

(3, 4)

स्व-अंक:

प्र. 28विकल्प / MCQ1 अंकपृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन · Surface Areas and Volumes

वर्ष / Years: 20112014201720202023

त्रिज्या 7 सेमी तथा तिर्यक ऊँचाई 25 सेमी वाले शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है (π = 22/7 लीजिए)

The curved surface area of a cone with radius 7 cm and slant height 25 cm is (use π = 22/7)

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: C — 550 सेमी²

CSA = π r l = (22/7)×7×25 = 550 सेमी².

Step 1 सूत्र / Formula: शंकु का वक्र पृष्ठ = π r l.
Step 2 r = 7 सेमी, l = 25 सेमी, π = 22/7.
Step 3 π r l = (22/7) × 7 × 25 = 22 × 25 = 550 सेमी².
Step 4 अतः विकल्प C सही है।

प्र. 29लघु उत्तरीय2 अंकपृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन · Surface Areas and Volumes

वर्ष / Years: 20122015201820212024

त्रिज्या 3.5 सेमी तथा ऊँचाई 8 सेमी वाले बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)

Find the volume of a cylinder of radius 3.5 cm and height 8 cm. (Use π = 22/7.)

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 सूत्र / Formula: बेलन का आयतन = π r² h.
Step 2 r = 3.5 = 7/2 सेमी, h = 8 सेमी.
Step 3 V = (22/7) × (49/4) × 8 = (22 × 7 × 8) / 4 = (22 × 7 × 2) = 308.
Step 4 अतः आयतन 308 घन सेमी है।

आयतन = 308 घन सेमी

स्व-अंक:

प्र. 30दीर्घ उत्तरीय4 अंकपृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन · Surface Areas and Volumes

वर्ष / Years: 20102013201620192022

एक खिलौना अर्धगोले पर आरोपित शंकु के रूप में है। दोनों की त्रिज्या 7 सेमी है तथा शंकु की ऊँचाई 24 सेमी है। खिलौने का आयतन तथा उसका (बाह्य) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)

A toy is in the form of a cone mounted on a hemisphere. Both have radius 7 cm and the height of the cone is 24 cm. Find the volume of the toy and its total (outer) surface area. (Use π = 22/7.)

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 दिया है / Given: r = 7 सेमी, शंकु की ऊँचाई h = 24 सेमी. तिर्यक ऊँचाई l = √(r²+h²) = √(49+576) = √625 = 25 सेमी.
Step 2 आयतन = शंकु + अर्धगोल = (1/3)πr²h + (2/3)πr³ = (π/3)(r²h + 2r³).
Step 3 r²h + 2r³ = 49×24 + 2×343 = 1176 + 686 = 1862. V = (22/7)×1862/3 = 266×22/3 = 5852/3 घन सेमी.
Step 4 बाह्य पृष्ठ (आधार छिपा): शंकु का वक्र पृष्ठ + अर्धगोल का वक्र पृष्ठ = πrl + 2πr² = πr(l+2r).
Step 5 πr(l+2r) = (22/7)×7×(25+14) = 22×39 = 858 सेमी².
Step 6 अतः आयतन 5852/3 घन सेमी तथा बाह्य पृष्ठ 858 सेमी²।

आयतन = 5852/3 घन सेमी, कुल बाह्य पृष्ठ = 858 सेमी²

स्व-अंक:

प्र. 31विकल्प / MCQ1 अंकसांख्यिकी · Statistics

वर्ष / Years: 20122015201820212024

आँकड़ों 3, 5, 5, 6, 7, 5, 8, 9 का बहुलक है

The mode of the data 3, 5, 5, 6, 7, 5, 8, 9 is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: B — 5

5 सबसे अधिक बार (तीन बार) आता है, अतः बहुलक 5 है।

Step 1 बहुलक / Mode = वह मान जो सबसे अधिक बार आए.
Step 2 3, 6, 7, 8, 9 एक-एक बार; 5 तीन बार आता है.
Step 3 अतः बहुलक = 5 (विकल्प B).

प्र. 32लघु उत्तरीय2 अंकसांख्यिकी · Statistics

वर्ष / Years: 20112014201720202023

आँकड़ों 11, 14, 16, 17, 18, 19, 21 का माध्यिका ज्ञात कीजिए।

Find the median of 11, 14, 16, 17, 18, 19, 21.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 आँकड़े पहले से आरोही क्रम में हैं। पदों की संख्या n = 7 (विषम).
Step 2 माध्यिका = ((n+1)/2)वाँ पद = 4था पद.
Step 3 4था पद = 17.
Step 4 अतः माध्यिका 17 है।

माध्यिका = 17

स्व-अंक:

प्र. 33दीर्घ उत्तरीय4 अंकसांख्यिकी · Statistics

वर्ष / Years: 201020132016201920222024

सोपान-विचलन विधि से निम्नलिखित आवृत्ति बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए: वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 तथा आवृत्तियाँ क्रमशः 4, 6, 8, 7, 5.

Find the mean of the following frequency distribution by the step-deviation method: classes 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 with frequencies 4, 6, 8, 7, 5 respectively.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 दिया है / Given: वर्ग अंतराल h = 10. मध्य बिंदु x_i: 5, 15, 25, 35, 45. कल्पित माध्य A = 25.
Step 2 u_i = (x_i − A)/h = −2, −1, 0, 1, 2. आवृत्ति f: 4, 6, 8, 7, 5. n = Σf = 30.
Step 3 f u: −8, −6, 0, 7, 10. Σfu = −8 − 6 + 0 + 7 + 10 = 3.
Step 4 सूत्र: माध्य = A + h (Σfu / n) = 25 + 10 × (3/30) = 25 + 1 = 26.
Step 5 जाँच (सीधा योग): Σfx = 20+90+200+245+225 = 780, 780/30 = 26.
Step 6 अतः माध्य 26 है।

माध्य = 26

स्व-अंक:

प्र. 34विकल्प / MCQ1 अंकप्रायिकता · Probability

वर्ष / Years: 201020132016201920222024

52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता यादृच्छिक निकाला जाता है। उसके इक्का होने की प्रायिकता है

A card is drawn at random from a well-shuffled pack of 52 cards. The probability that it is an ace is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: A — 1/13

इक्के = 4, कुल = 52. P = 4/52 = 1/13.

Step 1 कुल अनुकूल परिणाम / Favourable = 4 इक्के.
Step 2 कुल संभव परिणाम / Total = 52.
Step 3 P(इक्का) = 4/52 = 1/13.
Step 4 अतः विकल्प A सही है।

प्र. 35विकल्प / MCQ1 अंकप्रायिकता · Probability

वर्ष / Years: 20122015201820212023

एक थैले में 3 लाल तथा 5 नीली गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक निकाली जाती है। उसके लाल होने की प्रायिकता है

A bag contains 3 red and 5 blue balls. One ball is drawn at random. The probability that it is red is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: C — 3/8

कुल गेंदें = 8. P(लाल) = 3/8.

Step 1 लाल गेंदें = 3, नीली = 5, कुल = 8.
Step 2 P(लाल) = अनुकूल / कुल = 3/8.
Step 3 अन्य विकल्प: 3/5 केवल लाल:नीला अनुपात है, कुल नहीं।
Step 4 अतः विकल्प C सही है।

प्र. 36लघु उत्तरीय2 अंकप्रायिकता · Probability

वर्ष / Years: 20112014201720202024

1 से 15 तक के पूर्णांकों में से एक संख्या यादृच्छिक चुनी जाती है। उसके अभाज्य होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

A number is chosen at random from the integers 1 to 15. Find the probability that it is a prime number.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 कुल संभव परिणाम = 15 (संख्याएँ 1, 2, …, 15).
Step 2 1 से 15 तक अभाज्य: 2, 3, 5, 7, 11, 13 — कुल 6. (1 अभाज्य नहीं है।)
Step 3 P = 6/15 = 2/5.
Step 4 अतः प्रायिकता 2/5 है।

P(अभाज्य) = 6/15 = 2/5

स्व-अंक:

प्र. 37विकल्प / MCQ1 अंकवास्तविक संख्याएँ · Real Numbers

वर्ष / Years: 20112014201720202023

यदि HCF(136, 170) = 34 हो, तो LCM(136, 170) का मान है

If HCF(136, 170) = 34, then LCM(136, 170) is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: A — 680

a × b = HCF × LCM ⇒ LCM = 136 × 170 ÷ 34 = 680.

Step 1 सूत्र / Formula: a × b = HCF(a, b) × LCM(a, b).
Step 2 136 × 170 = 23120.
Step 3 LCM = 23120 ÷ 34. पहले 23120 ÷ 2 = 11560, फिर 11560 ÷ 17 = 680.
Step 4 अतः LCM = 680 (विकल्प A).

प्र. 38विकल्प / MCQ1 अंकबहुपद · Polynomials

वर्ष / Years: 20122015201820212024

यदि α तथा β, बहुपद x² − 6x + 8 के शून्यक हैं, तो α² + β² का मान है

If α and β are the zeros of x² − 6x + 8, then α² + β² equals

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: B — 20

α + β = 6, αβ = 8. α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 36 − 16 = 20.

Step 1 तुलना x² − (α+β)x + αβ से: α + β = 6, αβ = 8.
Step 2 सूत्र: α² + β² = (α + β)² − 2αβ.
Step 3 (6)² − 2(8) = 36 − 16 = 20.
Step 4 जाँच: शून्यक 2 और 4 हैं; 4 + 16 = 20.
Step 5 अतः विकल्प B सही है।

प्र. 39विकल्प / MCQ1 अंकदो चर वाले रैखिक समीकरण · Pair of Linear Equations

वर्ष / Years: 20102013201620192022

समीकरण युग्म 2x − y = 3 तथा 4x − 2y = 7 के हल हैं

The pair of equations 2x − y = 3 and 4x − 2y = 7 has

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: C — कोई हल नहीं

a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 ⇒ 2/4 = (−1)/(−2) ≠ 3/7. रेखाएँ समांतर हैं, कोई हल नहीं।

Step 1 a1=2, b1=−1, c1=−3; a2=4, b2=−2, c2=−7 (ax+by+c=0 रूप में c1=−3, c2=−7).
Step 2 a1/a2 = 2/4 = 1/2 तथा b1/b2 = (−1)/(−2) = 1/2.
Step 3 c1/c2 = (−3)/(−7) = 3/7 ≠ 1/2.
Step 4 अतः a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 → कोई हल नहीं (विकल्प C).

प्र. 40विकल्प / MCQ1 अंकद्विघात समीकरण · Quadratic Equations

वर्ष / Years: 20112014201820212024

यदि x² − px + 8 = 0 का एक मूल 2 है, तो p का मान है

If one root of x² − px + 8 = 0 is 2, then p equals

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: B — 6

मूलों का गुणनफल = 8 ⇒ दूसरा मूल = 4. योग = p = 2 + 4 = 6. (अथवा x=2 रखने पर 4 − 2p + 8 = 0 ⇒ p = 6.)

Step 1 x = 2 समीकरण को संतुष्ट करता है: 4 − 2p + 8 = 0.
Step 2 12 − 2p = 0 ⇒ 2p = 12 ⇒ p = 6.
Step 3 जाँच: गुणनफल = 8, दूसरा मूल = 4; योग = 6 = p.
Step 4 अतः विकल्प B सही है।

प्र. 41विकल्प / MCQ1 अंकसमांतर श्रेढ़ी · Arithmetic Progressions

वर्ष / Years: 20122015201720202023

समांतर श्रेढ़ी 7, 10, 13, … का 12वाँ पद है

The 12th term of the AP 7, 10, 13, … is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: B — 40

a = 7, d = 3. a12 = 7 + 11×3 = 40.

Step 1 प्रथम पद a = 7, सार्व अंतर d = 10 − 7 = 3.
Step 2 सूत्र: a_n = a + (n − 1)d.
Step 3 a12 = 7 + 11×3 = 7 + 33 = 40.
Step 4 अतः विकल्प B सही है।

प्र. 42विकल्प / MCQ1 अंकवृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल · Areas Related to Circles

वर्ष / Years: 201020132016201920222024

त्रिज्या 21 सेमी तथा केंद्र कोण 60° वाले वृत्त-खंड (त्रिज्यखंड) का क्षेत्रफल है (π = 22/7)

The area of a sector of a circle of radius 21 cm and central angle 60° is (π = 22/7)

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: A — 231 सेमी²

त्रिज्यखंड = (θ/360)πr² = (60/360)×(22/7)×441 = 231 सेमी².

Step 1 सूत्र: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360) π r².
Step 2 θ = 60°, r = 21, π = 22/7.
Step 3 (1/6) × (22/7) × 441 = (1/6) × 22 × 63 = 22 × 10.5 = 231.
Step 4 अतः क्षेत्रफल 231 सेमी² (विकल्प A).

प्र. 43विकल्प / MCQ1 अंकरचनाएँ · Constructions

वर्ष / Years: 20112014201720212023

△ABC के समरूप त्रिभुज की रचना पैमाना 3/5 (मूल से छोटा) पर करने के लिए किरण पर न्यूनतम बराबर चापों की संख्या है

To construct a triangle similar to a given △ABC with scale factor 3/5 (smaller than the original), the minimum number of equal arcs to be marked on the ray is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: B — 5

पैमाना m/n (m < n) हो तो बड़ी संख्या n के बराबर चाप लगाते हैं। यहाँ n = 5.

Step 1 समरूप त्रिभुज रचना में पैमाना m/n लिखा जाता है।
Step 2 किरण BX पर max(m, n) बराबर चाप लगाते हैं।
Step 3 यहाँ 3/5 में बड़ी संख्या 5 है, अतः 5 चाप आवश्यक हैं।
Step 4 तीसरे चाप को A से जोड़कर समांतर रेखा खींचते हैं।
Step 5 अतः विकल्प B सही है।

प्र. 44विकल्प / MCQ1 अंकत्रिकोणमिति · Introduction to Trigonometry

वर्ष / Years: 20122015201820202024

यदि tan θ = 3/4 तथा θ न्यून कोण है, तो sin θ का मान है

If tan θ = 3/4 and θ is acute, then sin θ is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: A — 3/5

tan = विमुख/आसन्न = 3/4. कर्ण = 5 (3-4-5). sin θ = 3/5.

Step 1 tan θ = विमुख/आसन्न = 3/4. मान लीजिए विमुख = 3k, आसन्न = 4k.
Step 2 कर्ण = √(9+16)k = 5k.
Step 3 sin θ = विमुख/कर्ण = 3/5 (θ न्यून, धनात्मक).
Step 4 अतः विकल्प A सही है।

प्र. 45विकल्प / MCQ1 अंकनिर्देशांक ज्यामिति · Coordinate Geometry

वर्ष / Years: 2013201620192022

(−2, 5) तथा (6, −1) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु है

The midpoint of the segment joining (−2, 5) and (6, −1) is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: A — (2, 2)

मध्य बिंदु = ((−2+6)/2, (5−1)/2) = (2, 2).

Step 1 मध्य-बिंदु सूत्र: ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2).
Step 2 x = (−2 + 6)/2 = 4/2 = 2.
Step 3 y = (5 + (−1))/2 = 4/2 = 2.
Step 4 अतः बिंदु (2, 2) है (विकल्प A).

प्र. 46विकल्प / MCQ1 अंकप्रायिकता · Probability

वर्ष / Years: 20102014201720212024

एक सम पासा एक बार फेंका जाता है। 3 का गुणज आने की प्रायिकता है

A fair die is thrown once. The probability of getting a multiple of 3 is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: B — 1/3

अनुकूल फल: 3, 6 (दो). कुल = 6. P = 2/6 = 1/3.

Step 1 कुल संभव परिणाम = 6 (1 से 6).
Step 2 3 के गुणज: 3 और 6 — दो अनुकूल.
Step 3 P = 2/6 = 1/3.
Step 4 अतः विकल्प B सही है।

प्र. 47विकल्प / MCQ1 अंकत्रिकोणमिति · Introduction to Trigonometry

वर्ष / Years: 20112015201820222023

sin 60° cos 30° + cos 60° sin 30° का मान है

The value of sin 60° cos 30° + cos 60° sin 30° is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: C — 1

यह sin(A+B) है: sin(60°+30°) = sin 90° = 1. सीधे: (√3/2)(√3/2) + (1/2)(1/2) = 3/4 + 1/4 = 1.

Step 1 sin 60° = √3/2, cos 30° = √3/2, cos 60° = 1/2, sin 30° = 1/2.
Step 2 गुणन: (√3/2)(√3/2) = 3/4 तथा (1/2)(1/2) = 1/4.
Step 3 योग = 3/4 + 1/4 = 1.
Step 4 पहचान: sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B ⇒ sin 90° = 1.
Step 5 अतः विकल्प C सही है।

प्र. 48विकल्प / MCQ1 अंकसांख्यिकी · Statistics

वर्ष / Years: 2012201620192023

यदि 5, 7, 9, x तथा 13 का माध्य 9 है, तो x का मान है

If the mean of 5, 7, 9, x and 13 is 9, then x is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: C — 11

योग/5 = 9 ⇒ योग = 45. 5+7+9+13 = 34 ⇒ x = 11.

Step 1 माध्य = (Σx)/n = 9, n = 5 ⇒ Σx = 45.
Step 2 ज्ञात पदों का योग = 5 + 7 + 9 + 13 = 34.
Step 3 x = 45 − 34 = 11.
Step 4 अतः विकल्प C सही है।

प्र. 49विकल्प / MCQ1 अंकवृत्त · Circles

वर्ष / Years: 2013201620202024

किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची जा सकने वाली स्पर्श रेखाओं की संख्या है

The number of tangents that can be drawn to a circle from an external point is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: B — 2

बाह्य बिंदु से ठीक दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं; दोनों लंबाई में बराबर होती हैं।

Step 1 वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ केंद्र से त्रिज्या पर लंब होती हैं।
Step 2 बाह्य बिंदु P से दो रेखाएँ वृत्त को एक-एक बिंदु पर स्पर्श करती हैं।
Step 3 आंतरिक बिंदु से कोई स्पर्श रेखा नहीं; परिधि पर ठीक एक।
Step 4 अतः बाह्य बिंदु से 2 स्पर्श रेखाएँ (विकल्प B).

प्र. 50विकल्प / MCQ1 अंकद्विघात समीकरण · Quadratic Equations

वर्ष / Years: 2010201420182021

समीकरण 3x² − 5x + 2 = 0 का विविक्तकर है

The discriminant of 3x² − 5x + 2 = 0 is

उत्तर / हल देखें ▶

सही विकल्प: A — 1

D = b² − 4ac = 25 − 24 = 1. मूल वास्तविक, परिमेय और असमान हैं।

Step 1 a = 3, b = −5, c = 2.
Step 2 D = (−5)² − 4(3)(2) = 25 − 24 = 1.
Step 3 D > 0 तथा पूर्ण वर्ग ⇒ दो भिन्न परिमेय मूल.
Step 4 अतः विविक्तकर 1 है (विकल्प A).

प्र. 51लघु उत्तरीय2 अंकवृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल · Areas Related to Circles

वर्ष / Years: 2011201520182022

त्रिज्या 10.5 सेमी वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)

Find the area of a circle of radius 10.5 cm. (Use π = 22/7.)

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 सूत्र: वृत्त का क्षेत्रफल = π r².
Step 2 r = 10.5 = 21/2 सेमी, π = 22/7.
Step 3 π r² = (22/7) × (441/4) = (22 × 63)/4 = 1386/4 = 346.5.
Step 4 अतः क्षेत्रफल 346.5 सेमी² है।

क्षेत्रफल = 346.5 सेमी²

स्व-अंक:

प्र. 52लघु उत्तरीय2 अंकसमांतर श्रेढ़ी · Arithmetic Progressions

वर्ष / Years: 2012201620192023

किसी समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद 4 तथा 7वाँ पद 22 है। सार्व अंतर तथा 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।

The first term of an AP is 4 and the 7th term is 22. Find the common difference and the 10th term.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 दिया है: a = 4, a7 = 22 ⇒ a + 6d = 22.
Step 2 4 + 6d = 22 ⇒ 6d = 18 ⇒ d = 3.
Step 3 a10 = a + 9d = 4 + 27 = 31.
Step 4 जाँच: a7 = 4 + 18 = 22. दोनों दिए गए मान से मेल खाते हैं।
Step 5 अतः d = 3 तथा a10 = 31.

d = 3, a10 = 31

स्व-अंक:

प्र. 53लघु उत्तरीय2 अंकद्विघात समीकरण · Quadratic Equations

वर्ष / Years: 20102014201720212024

गुणनखंड विधि से x² − 5x + 6 = 0 को हल कीजिए।

Solve x² − 5x + 6 = 0 by factorisation.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 दो संख्याएँ जिनका योग 5 और गुणनफल 6 हो: 2 और 3.
Step 2 x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0.
Step 3 x − 2 = 0 या x − 3 = 0 ⇒ x = 2, 3.
Step 4 जाँच: 4 − 10 + 6 = 0 तथा 9 − 15 + 6 = 0.

x = 2 अथवा x = 3

स्व-अंक:

प्र. 54लघु उत्तरीय2 अंकत्रिकोणमिति · Introduction to Trigonometry

वर्ष / Years: 2013201620202023

सिद्ध कीजिए: (1 − sin θ)(1 + sin θ) = cos² θ.

Prove that (1 − sin θ)(1 + sin θ) = cos² θ.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 बायाँ पक्ष: (1 − sin θ)(1 + sin θ) = 1 − sin² θ (सूत्र a² − b²).
Step 2 त्रिकोणमितीय पहचान: sin² θ + cos² θ = 1 ⇒ 1 − sin² θ = cos² θ.
Step 3 अतः LHS = cos² θ = RHS.
Step 4 इति सिद्धम्।

इति सिद्धम् / Hence proved.

स्व-अंक:

प्र. 55लघु उत्तरीय2 अंकरचनाएँ · Constructions

वर्ष / Years: 20112015201820222024

8 सेमी लंबे रेखाखंड AB को 3 : 2 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने के मुख्य चरण लिखिए।

Write the main steps to divide a line segment AB of length 8 cm in the ratio 3 : 2 internally.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 AB = 8 सेमी खींचिए। A से न्यून कोण बनाती किरण AX खींचिए।
Step 2 AX पर 3+2 = 5 बराबर चाप अंकित कीजिए: A1, A2, A3, A4, A5.
Step 3 A5 को B से मिलाइए। A3 से A5B के समांतर रेखा खींचिए जो AB को C पर काटे।
Step 4 थेल्स प्रमेय से AC : CB = 3 : 2. यही अभीष्ट विभाजन है।

किरण AX पर 5 बराबर चाप लगाकर B3 को B से मिलाएँ और B2 से BA के समांतर रेखा खींचें; प्रतिच्छेद बिंदु अभीष्ट बिंदु है।

स्व-अंक:

प्र. 56लघु उत्तरीय2 अंकवास्तविक संख्याएँ · Real Numbers

वर्ष / Years: 2012201620192021

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से 135 और 225 का HCF ज्ञात कीजिए।

Use Euclid's division algorithm to find HCF of 135 and 225.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 225 = 135 × 1 + 90.
Step 2 135 = 90 × 1 + 45.
Step 3 90 = 45 × 2 + 0. शेष 0 आने पर भाजक HCF है।
Step 4 अतः HCF(135, 225) = 45.

HCF(135, 225) = 45

स्व-अंक:

प्र. 57लघु उत्तरीय2 अंकनिर्देशांक ज्यामिति · Coordinate Geometry

वर्ष / Years: 2010201420182023

बिंदुओं (1, −2) तथा (4, 2) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

Find the distance between the points (1, −2) and (4, 2).

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 दूरी सूत्र: √[(x2−x1)² + (y2−y1)²].
Step 2 x2−x1 = 4−1 = 3, y2−y1 = 2−(−2) = 4.
Step 3 दूरी = √(9 + 16) = √25 = 5.
Step 4 अतः दूरी 5 इकाई है।

दूरी = 5

स्व-अंक:

प्र. 58लघु उत्तरीय2 अंकप्रायिकता · Probability

वर्ष / Years: 2013201720202024

दो सम सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। ठीक एक चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Two fair coins are tossed together. Find the probability of getting exactly one head.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 नमूना समष्टि: {HH, HT, TH, TT} — कुल 4 परिणाम, समान संभावना।
Step 2 ठीक एक चित: HT, TH — दो अनुकूल।
Step 3 P = 2/4 = 1/2.
Step 4 अतः प्रायिकता 1/2 है।

P = 1/2

स्व-अंक:

प्र. 59लघु उत्तरीय2 अंकवृत्त · Circles

वर्ष / Years: 2011201520192022

बाह्य बिंदु P से केंद्र O वाले वृत्त पर PA तथा PB स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि ∠APB = 70° हो, तो ∠AOB ज्ञात कीजिए।

Two tangents PA and PB are drawn from an external point P to a circle with centre O. If ∠APB = 70°, find ∠AOB.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 OA ⊥ PA तथा OB ⊥ PB ⇒ ∠OAP = ∠OBP = 90°.
Step 2 चतुर्भुज OAPB के कोणों का योग 360° है।
Step 3 ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 70° = 110°.
Step 4 (स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण तथा केंद्र पर बना कोण संपूरक होते हैं।)
Step 5 अतः ∠AOB = 110°.

∠AOB = 110°

स्व-अंक:

प्र. 60लघु उत्तरीय2 अंकदो चर वाले रैखिक समीकरण · Pair of Linear Equations

वर्ष / Years: 20122016201820212024

हल कीजिए: 3x + y = 11 तथा x − y = 1.

Solve: 3x + y = 11 and x − y = 1.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 दिया है: 3x + y = 11 …(1) तथा x − y = 1 …(2).
Step 2 (1) और (2) जोड़ने पर: 4x = 12 ⇒ x = 3.
Step 3 (2) में x = 3 रखने पर: 3 − y = 1 ⇒ y = 2.
Step 4 जाँच: 3(3) + 2 = 11 तथा 3 − 2 = 1. दोनों सत्य।
Step 5 अतः हल x = 3, y = 2 है।

x = 3, y = 2

स्व-अंक:

प्र. 61दीर्घ उत्तरीय4 अंकवृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल · Areas Related to Circles

वर्ष / Years: 20102013201720202023

एक वृत्ताकार फूलों की क्यारी की त्रिज्या 7 मी है। उसके चारों ओर 3.5 मी चौड़ी पगडंडी बनाई गई है। पगडंडी का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)

A circular flower bed has radius 7 m. A path 3.5 m wide is built around it. Find the area of the path. (Use π = 22/7.)

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 आंतरिक त्रिज्या r = 7 मी, पगडंडी की चौड़ाई = 3.5 मी.
Step 2 बाह्य त्रिज्या R = 7 + 3.5 = 10.5 = 21/2 मी.
Step 3 पगडंडी का क्षेत्रफल = π(R² − r²) = (22/7)[(21/2)² − 7²] = (22/7)(441/4 − 49).
Step 4 441/4 − 196/4 = 245/4. (22/7)×(245/4) = (22 × 35)/4 = 770/4 = 192.5.
Step 5 अतः पगडंडी का क्षेत्रफल 192.5 वर्ग मीटर है।

पगडंडी का क्षेत्रफल = 192.5 मी²

स्व-अंक:

प्र. 62दीर्घ उत्तरीय4 अंकसमांतर श्रेढ़ी · Arithmetic Progressions

वर्ष / Years: 20112014201820222024

किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग Sn = 3n² + 2n है। प्रथम पद, सार्व अंतर तथा 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।

The sum of the first n terms of an AP is given by Sn = 3n² + 2n. Find the first term, the common difference and the 10th term.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 प्रथम पद a = S1 = 3(1)² + 2(1) = 3 + 2 = 5.
Step 2 S2 = 3(4) + 4 = 12 + 4 = 16. दूसरा पद a2 = S2 − S1 = 16 − 5 = 11.
Step 3 सार्व अंतर d = a2 − a1 = 11 − 5 = 6.
Step 4 a10 = a + 9d = 5 + 54 = 59.
Step 5 जाँच: an = Sn − S(n−1) = [3n²+2n] − [3(n−1)²+2(n−1)] = 6n − 1; n=10 पर 59.
Step 6 अतः a = 5, d = 6, a10 = 59.

a = 5, d = 6, a10 = 59

स्व-अंक:

प्र. 63दीर्घ उत्तरीय4 अंकद्विघात समीकरण · Quadratic Equations

वर्ष / Years: 20122015201920212023

दो धनात्मक संख्याओं का अंतर 5 तथा उनका गुणनफल 84 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

The difference of two positive numbers is 5 and their product is 84. Find the numbers.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 मान लीजिए छोटी संख्या = x (x > 0), बड़ी = x + 5.
Step 2 गुणनफल: x(x + 5) = 84 ⇒ x² + 5x − 84 = 0.
Step 3 D = 25 + 336 = 361 = 19². x = (−5 ± 19)/2.
Step 4 धनात्मक मूल: x = 14/2 = 7. (ऋणात्मक मूल −12 त्यागें।)
Step 5 संख्याएँ 7 और 12. जाँच: 12 − 7 = 5, 7 × 12 = 84.
Step 6 अतः अभीष्ट संख्याएँ 7 तथा 12 हैं।

संख्याएँ 7 और 12

स्व-अंक:

प्र. 64दीर्घ उत्तरीय4 अंकत्रिकोणमिति · Introduction to Trigonometry

वर्ष / Years: 20102014201720202024

सिद्ध कीजिए: (1 + tan θ)² + (1 − tan θ)² = 2 sec² θ.

Prove that (1 + tan θ)² + (1 − tan θ)² = 2 sec² θ.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 बायाँ पक्ष: (1 + 2 tan θ + tan² θ) + (1 − 2 tan θ + tan² θ).
Step 2 मध्य पद कटते हैं: 1 + 1 + 2 tan² θ = 2 + 2 tan² θ.
Step 3 LHS = 2(1 + tan² θ).
Step 4 पहचान: 1 + tan² θ = sec² θ ⇒ LHS = 2 sec² θ = RHS.
Step 5 अतः सिद्ध हुआ।

इति सिद्धम् / Hence proved.

स्व-अंक:

प्र. 65दीर्घ उत्तरीय4 अंकरचनाएँ · Constructions

वर्ष / Years: 20112013201620192022

त्रिज्या 3 सेमी वाले वृत्त के केंद्र से 7 सेमी दूर एक बिंदु से स्पर्श रेखा-युग्म खींचने के रचना चरण लिखिए। (लिखित टिप्पणी पर्याप्त है।)

Write the steps of construction to draw a pair of tangents to a circle of radius 3 cm from a point 7 cm away from the centre. (A written construction note is enough.)

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 केंद्र O लेकर त्रिज्या 3 सेमी का वृत्त खींचिए। O से 7 सेमी पर बिंदु P अंकित कीजिए; OP मिलाइए।
Step 2 OP का लंब समद्विभाजक खींचकर मध्य बिंदु M ज्ञात कीजिए।
Step 3 M को केंद्र तथा MO (या MP) को त्रिज्या मानकर वृत्त खींचिए। यह दिए वृत्त को A और B पर काटे।
Step 4 PA और PB मिलाइए। ये अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं (कोण OAP = कोण OBP = 90°, व्यास पर अर्धवृत्त का कोण).
Step 5 माप से PA = PB = √(7² − 3²) = √40 = 2√10 सेमी होना चाहिए — यही जाँच है।

OP का लंब समद्विभाजक लेकर व्यास वाला वृत्त खींचें; प्रतिच्छेद बिंदु स्पर्श बिंदु हैं।

स्व-अंक:

प्र. 66दीर्घ उत्तरीय4 अंकऊँचाई और दूरी · Heights and Distances

वर्ष / Years: 20122015201820212024

समतल भूमि पर 6 मी तथा 11 मी ऊँचे दो ऊर्ध्वाधर खंभे 12 मी की दूरी पर खड़े हैं। उनके शीर्षों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

Two vertical poles of heights 6 m and 11 m stand 12 m apart on level ground. Find the distance between their tops.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 ऊँचाई का अंतर = 11 − 6 = 5 मी. क्षैतिज दूरी = 12 मी.
Step 2 शीर्षों को मिलाने वाला रेखाखंड एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है जिसकी भुजाएँ 5 मी और 12 मी हैं।
Step 3 पाइथागोरस: d² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
Step 4 d = 13 मी (धनात्मक).
Step 5 जाँच: 5-12-13 एक प्रसिद्ध त्रिक है।
Step 6 अतः शीर्षों के बीच दूरी 13 मीटर है।

शीर्षों के बीच दूरी = 13 मी

स्व-अंक:

प्र. 67दीर्घ उत्तरीय4 अंकपृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन · Surface Areas and Volumes

वर्ष / Years: 20102014201720202023

एक कुआँ 14 मी गहरा है तथा उसका व्यास 10 मी है। (i) निकाली गई मिट्टी का आयतन (ii) कुएँ का आंतरिक वक्र पृष्ठ ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)

A well is 14 m deep and has diameter 10 m. Find (i) the volume of earth taken out (ii) the inner curved surface area of the well. (Use π = 22/7.)

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 व्यास = 10 मी ⇒ त्रिज्या r = 5 मी, ऊँचाई/गहराई h = 14 मी.
Step 2 बेलन का आयतन V = π r² h = (22/7) × 25 × 14 = 22 × 25 × 2 = 1100 मी³.
Step 3 आंतरिक वक्र पृष्ठ = 2π r h = 2 × (22/7) × 5 × 14 = 2 × 22 × 10 = 440 मी².
Step 4 जाँच: 14 और 7 कटते हैं, गणना पूर्णांक रहती है।
Step 5 अतः मिट्टी 1100 घन मीटर तथा आंतरिक वक्र पृष्ठ 440 वर्ग मीटर।

आयतन = 1100 मी³, वक्र पृष्ठ = 440 मी²

स्व-अंक:

प्र. 68दीर्घ उत्तरीय4 अंकसांख्यिकी · Statistics

वर्ष / Years: 20112016201920222024

कल्पित-माध्य विधि से निम्नलिखित आवृत्ति बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए: वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 तथा आवृत्तियाँ क्रमशः 5, 8, 12, 6, 4.

Find the mean of the following frequency distribution by the assumed-mean method: classes 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 with frequencies 5, 8, 12, 6, 4 respectively.

उत्तर / step-by-step हल देखें ▶

Step 1 मध्य बिंदु x_i: 5, 15, 25, 35, 45. कल्पित माध्य A = 25, वर्ग अंतराल h = 10.
Step 2 u_i = (x_i − A)/h = −2, −1, 0, 1, 2. n = Σf = 5+8+12+6+4 = 35.
Step 3 fu: −10, −8, 0, 6, 8. Σfu = −10 − 8 + 6 + 8 = −4.
Step 4 माध्य = A + h(Σfu/n) = 25 + 10(−4/35) = 25 − 40/35 = 25 − 8/7 = 167/7.
Step 5 जाँच (सीधा योग): Σfx = 25+120+300+210+180 = 835; 835/35 = 167/7 ≈ 23.86.
Step 6 अतः माध्य 167/7 (लगभग 23.86) है।

माध्य = 167/7 ≈ 23.86

स्व-अंक:

कैसे पढ़ें

MCQ पर टैप करें — सही हरा, गलत लाल। फिर “हल देखें” से वर्ष और चरणबद्ध समाधान खोलें। पेपर टेस्ट से पूरा खण्ड अ/ब/स एक साथ करें।

गणित के रिपीटेड प्रश्न कैसे पढ़ें?
ऊपर से चैप्टर या प्रश्न-प्रकार चुनें। MCQ पर टैप करें। हल में वर्ष और step-by-step समाधान दिखेगा।

बोर्ड जैसा पेपर कहाँ है?
“बोर्ड पेपर जैसा टेस्ट” खोलें — खण्ड अ/ब/स, अंक और समय उसी शैली में।

गणित — 2010 से रिपीटेड प्रश्न व हल

आपका स्कोर सारांश

यदि HCF(306, 657) = 9 हो, तो LCM(306, 657) का मान है

भिन्न 13/625 का दशमलव प्रसार कितने स्थानों के बाद समाप्त होता है?

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से 867 और 255 का HCF ज्ञात कीजिए।

यदि α तथा β, बहुपद x² − 4x + 3 के शून्यक हैं, तो α² + β² का मान है

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक 3 तथा −2 हों।

k के किस मान पर समीकरण 3x − y + 5 = 0 तथा 6x − 2y + k = 0 के अनंत हल होंगे?

हल कीजिए: 2x + y = 8 तथा x − y = 1.

समीकरण 2x² − 4x + 3 = 0 के मूल हैं

यदि x² − 7x + k = 0 के मूलों का योग उनके गुणनफल के बराबर है, तो k का मान है

द्विघात सूत्र से 2x² − 7x + 3 = 0 को हल कीजिए।

समांतर श्रेढ़ी 2, 7, 12, … का 15वाँ पद है

समांतर श्रेढ़ी 3, 7, 11, … के कितने पद लेने पर उनका योग 820 होगा?

किसी समांतर श्रेढ़ी का 4था पद 11 तथा 7वाँ पद 20 है। 15वाँ पद तथा प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

△ABC में DE ∥ BC है, जहाँ D, AB पर तथा E, AC पर है। यदि AD = 1.5 सेमी, BD = 3 सेमी तथा AE = 1.8 सेमी हो, तो EC तथा AC ज्ञात कीजिए।

बिंदु P, वृत्त के केंद्र O से 13 सेमी दूर है। वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। P से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई है

बाह्य बिंदु P से वृत्त (केंद्र O) पर PQ तथा PR स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि ∠QOR = 140° हो, तो ∠QPR ज्ञात कीजिए।

यदि cos θ = 5/13 तथा θ न्यून कोण है, तो tan θ का मान है

यदि sin θ = 8/17 तथा θ न्यून कोण है, तो cos θ तथा tan θ ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए: (sin θ + cos θ)(tan θ + cot θ) = sec θ + cosec θ.

एक ऊर्ध्वाधर मीनार की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर है। सूर्य का उन्नयन कोण है

बिंदुओं (2, −3) तथा (5, 1) के बीच की दूरी है

वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (1, 2) तथा (7, 8) को मिलाने वाले रेखाखंड को 1 : 2 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

त्रिज्या 7 सेमी तथा तिर्यक ऊँचाई 25 सेमी वाले शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है (π = 22/7 लीजिए)

त्रिज्या 3.5 सेमी तथा ऊँचाई 8 सेमी वाले बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)

आँकड़ों 3, 5, 5, 6, 7, 5, 8, 9 का बहुलक है

आँकड़ों 11, 14, 16, 17, 18, 19, 21 का माध्यिका ज्ञात कीजिए।

52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता यादृच्छिक निकाला जाता है। उसके इक्का होने की प्रायिकता है

एक थैले में 3 लाल तथा 5 नीली गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक निकाली जाती है। उसके लाल होने की प्रायिकता है

1 से 15 तक के पूर्णांकों में से एक संख्या यादृच्छिक चुनी जाती है। उसके अभाज्य होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

यदि HCF(136, 170) = 34 हो, तो LCM(136, 170) का मान है

यदि α तथा β, बहुपद x² − 6x + 8 के शून्यक हैं, तो α² + β² का मान है

समीकरण युग्म 2x − y = 3 तथा 4x − 2y = 7 के हल हैं

यदि x² − px + 8 = 0 का एक मूल 2 है, तो p का मान है

समांतर श्रेढ़ी 7, 10, 13, … का 12वाँ पद है

त्रिज्या 21 सेमी तथा केंद्र कोण 60° वाले वृत्त-खंड (त्रिज्यखंड) का क्षेत्रफल है (π = 22/7)

△ABC के समरूप त्रिभुज की रचना पैमाना 3/5 (मूल से छोटा) पर करने के लिए किरण पर न्यूनतम बराबर चापों की संख्या है

यदि tan θ = 3/4 तथा θ न्यून कोण है, तो sin θ का मान है

(−2, 5) तथा (6, −1) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु है

एक सम पासा एक बार फेंका जाता है। 3 का गुणज आने की प्रायिकता है

sin 60° cos 30° + cos 60° sin 30° का मान है

यदि 5, 7, 9, x तथा 13 का माध्य 9 है, तो x का मान है

किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची जा सकने वाली स्पर्श रेखाओं की संख्या है

समीकरण 3x² − 5x + 2 = 0 का विविक्तकर है

त्रिज्या 10.5 सेमी वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए।)

किसी समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद 4 तथा 7वाँ पद 22 है। सार्व अंतर तथा 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।

गुणनखंड विधि से x² − 5x + 6 = 0 को हल कीजिए।

सिद्ध कीजिए: (1 − sin θ)(1 + sin θ) = cos² θ.

8 सेमी लंबे रेखाखंड AB को 3 : 2 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने के मुख्य चरण लिखिए।

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से 135 और 225 का HCF ज्ञात कीजिए।

बिंदुओं (1, −2) तथा (4, 2) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

दो सम सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। ठीक एक चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

बाह्य बिंदु P से केंद्र O वाले वृत्त पर PA तथा PB स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि ∠APB = 70° हो, तो ∠AOB ज्ञात कीजिए।

हल कीजिए: 3x + y = 11 तथा x − y = 1.

किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग Sn = 3n² + 2n है। प्रथम पद, सार्व अंतर तथा 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।

दो धनात्मक संख्याओं का अंतर 5 तथा उनका गुणनफल 84 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए: (1 + tan θ)² + (1 − tan θ)² = 2 sec² θ.

समतल भूमि पर 6 मी तथा 11 मी ऊँचे दो ऊर्ध्वाधर खंभे 12 मी की दूरी पर खड़े हैं। उनके शीर्षों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

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