इंटरमीडिएट परीक्षा — अभ्यास प्रश्न-पत्र

सही विकल्प: D — 64

n अवयवों वाले समुच्चय पर स्वतुल्य संबंधों की संख्या 2^(n² − n) होती है। n = 3 पर 2^6 = 64। / For an n-element set the number of reflexive relations is 2^(n² − n).

1. Step 1 n अवयवों वाले समुच्चय पर एक संबंध में कुल n² युग्म संभव हैं।
2. Step 2 स्वतुल्य संबंध में विकर्ण के n युग्म (a, a) अवश्य उपस्थित रहते हैं।
3. Step 3 शेष n² − n युग्मों में से प्रत्येक को स्वतंत्र रूप से लिया या छोड़ा जा सकता है।
4. Step 4 यहाँ n = 3, अतः संख्या = 2^(9 − 3) = 2^6 = 64।

सही विकल्प: C — π/2

सर्वसमिका: sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2, जहाँ x ∈ [−1, 1]। जाँच: π/6 + π/3 = π/2।

1. Step 1 ज्ञात सर्वसमिका: sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2, x ∈ [−1, 1]।
2. Step 2 यहाँ x = 1/2 इस अंतराल में है, अतः योग = π/2।
3. Step 3 सीधा मान: sin⁻¹(1/2) = π/6 तथा cos⁻¹(1/2) = π/3।
4. Step 4 π/6 + π/3 = π/6 + 2π/6 = 3π/6 = π/2।

सही विकल्प: C — 20

n कोटि के आव्यूह के लिए |kA| = k^n |A|। अतः |2A| = 2² × 5 = 20।

1. Step 1 सूत्र: यदि A, n × n आव्यूह हो तो |kA| = k^n |A|।
2. Step 2 यहाँ n = 2 तथा k = 2, |A| = 5।
3. Step 3 |2A| = 2² × 5 = 4 × 5 = 20।

सही विकल्प: B — -2

|A| = 1×4 − 2×3 = 4 − 6 = −2।

1. Step 1 2 × 2 सारणिक का सूत्र: |[[a, b], [c, d]]| = ad − bc।
2. Step 2 a = 1, b = 2, c = 3, d = 4 रखने पर |A| = 1×4 − 2×3।
3. Step 3 4 − 6 = −2। अतः |A| = −2।

सही विकल्प: C — 5

(sin 5x)/x = 5 · (sin 5x)/(5x) → 5 × 1 = 5 जब x → 0।

1. Step 1 मान को 5 से गुणा-भाग करें: (sin 5x)/x = 5 · (sin 5x)/(5x)।
2. Step 2 मानक सीमा: lim θ→0 (sin θ)/θ = 1, जहाँ θ = 5x → 0 जब x → 0।
3. Step 3 अतः सीमा = 5 × 1 = 5।

सही विकल्प: B — -1

d/dx (cos⁻¹ x) = −1/√(1 − x²)। x = 0 पर मान −1 है।

1. Step 1 सूत्र: d/dx (cos⁻¹ x) = −1 / √(1 − x²), |x| < 1।
2. Step 2 x = 0 रखने पर हर = √1 = 1।
3. Step 3 अतः अवकलज = −1/1 = −1।

सही विकल्प: C — (-∞, -1) ∪ (1, ∞)

f′(x) = 3(x² − 1) > 0 जब |x| > 1, अर्थात् (−∞, −1) ∪ (1, ∞)।

1. Step 1 f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)।
2. Step 2 f′(x) > 0 जब x² > 1, अर्थात् x < −1 या x > 1।
3. Step 3 अतः f, (−∞, −1) ∪ (1, ∞) पर निरंतर वर्धमान है।

सही विकल्प: B — tan⁻¹ x + C

मानक सूत्र: ∫ dx/(1 + x²) = tan⁻¹ x + C।

1. Step 1 यह प्रतिलोम स्पर्शज्या का मानक समाकल है।
2. Step 2 d/dx (tan⁻¹ x) = 1/(1 + x²) से उलटा सूत्र मिलता है।
3. Step 3 अतः ∫ dx/(1 + x²) = tan⁻¹ x + C।

सही विकल्प: B — 1

[−cos x]₀^{π/2} = 0 − (−1) = 1।

1. Step 1 ∫ sin x dx = −cos x + C।
2. Step 2 निश्चित सीमाएँ: [−cos x]₀^{π/2} = (−cos(π/2)) − (−cos 0)।
3. Step 3 cos(π/2) = 0, cos 0 = 1, अतः 0 − (−1) = 1।

सही विकल्प: B — 2

कोटि = उच्चतम अवकलज की कोटि = 2। घात 3 है, कोटि नहीं।

1. Step 1 कोटि उस उच्चतम अवकलज की कोटि है जो समीकरण में उपस्थित हो।
2. Step 2 यहाँ उच्चतम अवकलज d²y/dx² है, अतः कोटि = 2।
3. Step 3 घात 3 है क्योंकि (d²y/dx²) पर घात 3 है; प्रश्न कोटि माँगता है।

1. Step 1 एकैकी: मान लीजिए f(x₁) = f(x₂) ⇒ 2x₁ + 5 = 2x₂ + 5 ⇒ x₁ = x₂। अतः f एकैकी है।
2. Step 2 आच्छादक: कोई y ∈ R लीजिए। 2x + 5 = y ⇒ x = (y − 5)/2 ∈ R। प्रत्येक y का पूर्व-प्रतिबिंब है।
3. Step 3 अतः f एकैकी तथा आच्छादक है।

f एकैकी (one-one) तथा आच्छादक (onto) है; अतः f एकैक आच्छादक (bijective) है।

1. Step 1 सूत्र: a > 0, b > 0, ab > 1 होने पर tan⁻¹ a + tan⁻¹ b = π + tan⁻¹((a + b)/(1 − ab))।
2. Step 2 यहाँ a = 2, b = 3, ab = 6 > 1, अतः योग = π + tan⁻¹(5/(1 − 6)) = π + tan⁻¹(−1)।
3. Step 3 tan⁻¹(−1) = −π/4 (मुख्य मान)। अतः π − π/4 = 3π/4।

tan⁻¹ 2 + tan⁻¹ 3 = 3π/4

1. Step 1 |A| = 2×2 − 1×3 = 4 − 3 = 1 ≠ 0, अतः A व्युत्क्रमणीय है।
2. Step 2 सहखंड आव्यूह: C₁₁ = 2, C₁₂ = −3, C₂₁ = −1, C₂₂ = 2। adj A = [[2, −1], [−3, 2]]।
3. Step 3 A⁻¹ = (1/|A|) adj A = [[2, −1], [−3, 2]]।
4. Step 4 जाँच: A A⁻¹ = [[4 − 3, −2 + 2], [6 − 6, −3 + 4]] = I।

A⁻¹ = [[2, −1], [−3, 2]]

1. Step 1 प्रथम स्तंभ C₁ = (2, 1, 4) तथा तृतीय स्तंभ C₃ = (2, 1, 4) समान हैं।
2. Step 2 सारणिक के गुण से: दो स्तंभ समान हों तो सारणिक शून्य होता है।
3. Step 3 अतः दिया गया सारणिक = 0।

सारणिक का मान 0 है (स्तंभ C₁ = C₃)।

1. Step 1 संततता के लिए lim (x→2) f(x) = f(2) = k होना चाहिए।
2. Step 2 x ≠ 2 पर f(x) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2।
3. Step 3 अतः lim (x→2) f(x) = 4। इसलिए k = 4।

k = 4

1. Step 1 f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3)।
2. Step 2 f′(x) ≥ 0 जब (x − 1)(x − 3) ≥ 0, अर्थात् x ≤ 1 या x ≥ 3।
3. Step 3 अतः f, (−∞, 1] ∪ [3, ∞) पर वर्धमान (तथा [1, 3] पर ह्रासमान) है।

f, (−∞, 1] ∪ [3, ∞) पर वर्धमान है।

1. Step 1 एकैकी: f(x₁) = f(x₂) ⇒ 3x₁ + 2 = 3x₂ + 2 ⇒ x₁ = x₂। अतः f एकैकी है।
2. Step 2 आच्छादक: दिए y ∈ R के लिए 3x + 2 = y ⇒ x = (y − 2)/3 ∈ R। प्रत्येक वास्तविक संख्या का पूर्व-प्रतिबिंब विद्यमान है।
3. Step 3 एकैकी + आच्छादक ⇒ f एकैक आच्छादक (bijective) है, अतः प्रतिलोम फलन का अस्तित्व है।
4. Step 4 y = 3x + 2 को x के लिए हल करने पर x = (y − 2)/3। x और y का स्थान बदलकर f⁻¹(x) = (x − 2)/3।
5. Step 5 (f⁻¹ ∘ f)(x) = f⁻¹(3x + 2) = ((3x + 2) − 2)/3 = 3x/3 = x।
6. Step 6 इसी प्रकार (f ∘ f⁻¹)(x) = 3·((x − 2)/3) + 2 = x − 2 + 2 = x। दोनों संयोजन तत्समक हैं।

f एकैक आच्छादक है तथा f⁻¹(x) = (x − 2)/3। साथ ही (f⁻¹ ∘ f)(x) = x।

1. Step 1 सूत्र: tan⁻¹ a + tan⁻¹ b = tan⁻¹((a + b)/(1 − ab)), जब ab < 1।
2. Step 2 यहाँ a = 2x, b = 3x। यदि 6x² < 1, तो (2x + 3x)/(1 − 6x²) = tan(π/4) = 1।
3. Step 3 5x = 1 − 6x² ⇒ 6x² + 5x − 1 = 0।
4. Step 4 गुणनखंड: (6x − 1)(x + 1) = 0 ⇒ x = 1/6 या x = −1।
5. Step 5 x = 1/6 पर 6x² = 1/6 < 1 तथा 2x, 3x धनात्मक हैं, अतः सूत्र लागू है और समीकरण संतुष्ट होता है।
6. Step 6 x = −1 पर 2x · 3x = 6 > 1 तथा दोनों कोण ऋणात्मक हैं; tan⁻¹(−2) + tan⁻¹(−3) = −3π/4 ≠ π/4।
7. Step 7 अतः अद्वितीय हल x = 1/6 है।

x = 1/6 (x = −1 स्वीकार्य नहीं है।)

1. Step 1 आव्यूह रूप: AX = B, जहाँ A = [[1, 2], [3, 1]], X = [[x], [y]], B = [[5], [5]]।
2. Step 2 |A| = 1×1 − 2×3 = 1 − 6 = −5 ≠ 0, अतः अद्वितीय हल X = A⁻¹ B है।
3. Step 3 adj A = [[1, −2], [−3, 1]]। इसलिए A⁻¹ = (−1/5) [[1, −2], [−3, 1]]।
4. Step 4 X = (−1/5) [[1, −2], [−3, 1]] [[5], [5]] = (−1/5) [[5 − 10], [−15 + 5]]।
5. Step 5 = (−1/5) [[−5], [−10]] = [[1], [2]]। अतः x = 1, y = 2।
6. Step 6 जाँच: 1 + 2·2 = 5 तथा 3·1 + 2 = 5। दोनों समीकरण संतुष्ट हैं।

x = 1, y = 2

1. Step 1 महत्वपूर्ण बिंदु x = 1, 2 हैं। खंडशः रूप: x < 1 पर f(x) = (1 − x) + (2 − x) = 3 − 2x।
2. Step 2 1 ≤ x < 2 पर f(x) = (x − 1) + (2 − x) = 1। x ≥ 2 पर f(x) = (x − 1) + (x − 2) = 2x − 3।
3. Step 3 x = 1 पर LHL = 3 − 2 = 1, RHL = 1, f(1) = 1। x = 2 पर LHL = 1, RHL = 1, f(2) = 1। अन्यत्र f बहुपद है। अतः f, R पर संतत है।
4. Step 4 x < 1 पर f′(x) = −2; 1 < x < 2 पर f′(x) = 0; x > 2 पर f′(x) = 2।
5. Step 5 x = 1 पर बायाँ अवकलज = −2, दायाँ अवकलज = 0; असमान ⇒ x = 1 पर अवकलनीय नहीं।
6. Step 6 x = 2 पर बायाँ अवकलज = 0, दायाँ अवकलज = 2; असमान ⇒ x = 2 पर अवकलनीय नहीं।
7. Step 7 निष्कर्ष: f सर्वत्र संतत है तथा R \ {1, 2} पर अवकलनीय है।

f सभी वास्तविक x पर संतत है; x = 1 तथा x = 2 पर अवकलनीय नहीं है। f′(x) = −2 (x < 1), 0 (1 < x < 2), 2 (x > 2)।

1. Step 1 गोले की त्रिज्या R = 6। बेलन की ऊँचाई h तथा आधार-त्रिज्या r हो, तो समकोण त्रिभुज से r² + (h/2)² = R² ⇒ r² = 36 − h²/4।
2. Step 2 आयतन V = π r² h = π (36h − h³/4), जहाँ 0 < h < 12।
3. Step 3 dV/dh = π (36 − 3h²/4)। क्रांतिक बिंदु: 36 − 3h²/4 = 0 ⇒ h² = 48 ⇒ h = 4√3 (h > 0)।
4. Step 4 d²V/dh² = π (−6h/4) = −(3π h)/2। h = 4√3 > 0 पर द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है, अतः आयतन अधिकतम है।
5. Step 5 तब r² = 36 − 48/4 = 36 − 12 = 24।
6. Step 6 अधिकतम आयतन V = π · 24 · 4√3 = 96π√3 घन सेमी।
7. Step 7 अतः अभीष्ट ऊँचाई 4√3 सेमी तथा अधिकतम आयतन 96π√3 सेमी³ है।

अधिकतम आयतन पर ऊँचाई = 4√3 सेमी तथा अधिकतम आयतन = 96π√3 घन सेमी।

1. Step 1 प्रतिच्छेदन: पहली से x = y²/4 को दूसरी में रखने पर (y²/4)² = 4y ⇒ y⁴ = 64y ⇒ y(y³ − 64) = 0।
2. Step 2 y = 0 या y = 4। संगत बिंदु (0, 0) तथा (4, 4) हैं।
3. Step 3 0 ≤ x ≤ 4 पर ऊपरी वक्र y² = 4x ⇒ y = 2√x तथा निचला वक्र x² = 4y ⇒ y = x²/4।
4. Step 4 क्षेत्रफल A = ∫₀⁴ (2x^{1/2} − x²/4) dx।
5. Step 5 समाकलन: [2 · (2/3) x^{3/2} − x³/12]₀⁴ = (4/3) · 4^{3/2} − 64/12।
6. Step 6 4^{3/2} = 8 तथा 64/12 = 16/3, अतः A = 32/3 − 16/3 = 16/3।
7. Step 7 अतः परिबद्ध क्षेत्रफल 16/3 वर्ग इकाई है।

क्षेत्रफल = 16/3 वर्ग इकाई