Class 12 Mathematics Important Questions with Answers (Long answers)

दिया: संख्याएँ 19, 4।
विधि: अध्याय Relations and Functions का नियम लागू करें।
गणना: योग 23, गुणन 76।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

Reflexive, symmetric, transitive, equivalence, and invertibility of a function. A bijection is the inverse ticket. Composition (fog)(x) needs range-domain fit. Write the proof in the three-line school format when the question says “show that”.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।

दिया: संख्याएँ 20, 5।
विधि: अध्याय Inverse Trigonometric Functions का नियम लागू करें।
गणना: योग 25, गुणन 100।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

Principal values, domains, and the standard identities (sin−1x + cos−1x = π/2). A range mistake is the usual zero. Draw the principal-value interval before you simplify.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।

दिया: संख्याएँ 21, 6।
विधि: अध्याय Matrices का नियम लागू करें।
गणना: योग 27, गुणन 126।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

Types, addition, multiplication (order check), transpose, symmetric/skew, and inverse via adjoint if the chapter still pairs it here. AB ≠ BA in general. (AB)′ = B′A′. A zero product does not force a zero matrix.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।

दिया: संख्याएँ 22, 7।
विधि: अध्याय Determinants का नियम लागू करें।
गणना: योग 29, गुणन 154।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

3×3 expansion, properties, area of a triangle, Cramer, and A−1 = (1/|A|) adj A. A singular matrix has |A|=0. Elementary operations change the determinant in the way the property states — write the factor.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।

दिया: संख्याएँ 23, 3।
विधि: अध्याय Continuity and Differentiability का नियम लागू करें।
गणना: योग 26, गुणन 69।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

A function continuous at a if left = right = f(a). Chain, product, quotient, inverse trig derivatives, and Rolle/Lagrange as the book keeps them. Differentiable ⇒ continuous; converse false. A corner is the |x| story.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।

दिया: संख्याएँ 24, 4।
विधि: अध्याय Application of Derivatives का नियम लागू करें।
गणना: योग 28, गुणन 96।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

Rate, increasing/decreasing, tangent-normal, maxima-minima, and approximation extras. A closed-interval max checks endpoints and critical points. Write f′=0, then the second-derivative or sign test.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।

दिया: संख्याएँ 25, 5।
विधि: अध्याय Integrals का नियम लागू करें।
गणना: योग 30, गुणन 125।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

Standard forms, substitution, parts, partial fractions, and definite-integral properties. ∫f′/f = ln|f|. A definite integral is a number; check the limits after substitution. These are the heaviest board marks if you are fluent.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।

दिया: संख्याएँ 26, 6।
विधि: अध्याय Application of Integrals का नियम लागू करें।
गणना: योग 32, गुणन 156।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

Area under a curve and between two curves. Draw; find intersections; integrate with respect to the easier axis. A bounded-area question wants the enclosed piece only.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।

दिया: संख्याएँ 27, 7।
विधि: अध्याय Differential Equations का नियम लागू करें।
गणना: योग 34, गुणन 189।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

Order, degree, variable separable, homogeneous, and linear dy/dx + Py = Q. A general solution has the number of arbitrary constants equal to the order. Write the form before you integrate.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।

दिया: संख्याएँ 28, 3।
विधि: अध्याय Vector Algebra का नियम लागू करें।
गणना: योग 31, गुणन 84।
जाँच: उलटा संक्रिया या प्रतिस्थापन।
अंत: शब्द-समस्या में वाक्य में उत्तर लिखें।

Dot, cross, projection, and a scalar triple product as volume. a·b = 0 ⊥; a×b = 0 ∥. Unit vector is a/|a|. Write the right-hand order for a×b.

चार बिंदु: (1) NCERT परिभाषा/सूत्र/घटना। (2) एक उदाहरण या आरेख-विचार। (3) एक तुलना या कारण। (4) एक साधारण संख्यात्मक या उद्धरण यदि पाठ माँगता है।
निष्कर्ष: उत्तर अध्याय-सत्य रखें — बोर्ड की डेटशीट यहाँ नहीं गढ़ी गई।