UP Board Class 10 Mathematics Important Questions 2025

उत्तर: त्रिकोणमिति के अनुपातों में साइन, कोसाइन, टैन्जेंट, कोटैन्जेंट, सेकेंट और को-सेकेंट शामिल होते हैं। ये अनुपात कोणों के आधार पर होते हैं।

उत्तर: गुणन विधि में दो समीकरणों को गुणा करके उनके समिकरणों को हल किया जाता है। यह विधि तब उपयोगी होती है जब दोनों समीकरणों में कोई समान गुणांक हो।

उत्तर: हेरॉन का सूत्र त्रिकोण के क्षेत्रफल को त्रिकोण के तीन किनारों के आधार पर निर्धारित करता है। सूत्र है:
\( A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
जहाँ \( s = \frac{a+b+c}{2} \), और \( a, b, c \) त्रिकोण के किनारे हैं।

उत्तर: जब दो रेखाएँ एक दूसरे से कभी नहीं मिलतीं, तो वे परस्पर समानांतर होती हैं। समानांतर रेखाओं के पास समान स्लोप होते हैं।

उत्तर: पाईचार्ट में हर खंड एक विशिष्ट श्रेणी के प्रतिशत को दिखाता है। पाईचार्ट का उपयोग तब किया जाता है जब हमें किसी निश्चित कुल के हिस्सों को दिखाना होता है।

उत्तर: त्रिकोणमिति के अनुपातों के मान कोण के आधार पर निर्धारित होते हैं। उदाहरण के लिए, 30°, 45°, और 60° के लिए इन मानों का निर्धारण किया जा सकता है।

उत्तर: प्रतिपाद्य विधि में, एक समीकरण से एक चर को प्राप्त किया जाता है और इसे दूसरे समीकरण में स्थानापन्न कर दिया जाता है।

उत्तर: त्रिकोण के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए हेरॉन का सूत्र या किसी अन्य उपयुक्त विधि का प्रयोग किया जाता है।

उत्तर: रैखिक समीकरण के दो चर वाले प्रणाली को हल करने के लिए योग और घटाव विधियों का उपयोग किया जाता है।

उत्तर: समानांतर रेखाएँ वे होती हैं जो कभी नहीं मिलतीं और इनकी स्लोप समान होती है। इन्हें रैखिक समीकरणों के समाधान में उपयोग किया जाता है।

उत्तर: पाईचार्ट में हर खंड का क्षेत्रफल एक श्रेणी के प्रतिशत के अनुरूप होता है, जो डेटा को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करता है।

उत्तर: सीधी रेखा का समीकरण \( y = mx + c \) होता है, जहां \( m \) रेखा की ढलान और \( c \) y-अक्ष पर कटी हुई बिंदु को दर्शाता है।

उत्तर: द्विघात समीकरण को \( ax^2 + bx + c = 0 \) के रूप में हल किया जाता है, जिसे कारक विधि, गुणनखंड विधि, या सांस्कृतिक सूत्र से हल किया जा सकता है।

उत्तर: त्रिकोण का क्षेत्रफल \( A = \frac{1}{2} \times आधार \times ऊँचाई \) से निकाला जा सकता है, और समानांतर रेखाओं के गुणांक से इसे सिद्ध किया जा सकता है।

उत्तर: रैखिक असमितियों को हल करने के लिए उन असमितियों को एक साथ जोड़कर और अलग-अलग करके हल किया जाता है।

उत्तर: सांकेतिक समीकरणों को हल करने के लिए एलिमिनेशन विधि, समाकलन विधि या अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है।

उत्तर: पायथागोरस का प्रमेय कहता है कि किसी समकोण त्रिकोण में, कर्ण का वर्ग दो लंबों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

उत्तर: हेरॉन के सूत्र से त्रिकोण का क्षेत्रफल \( A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) होता है, जहाँ \( s = \frac{a+b+c}{2} \) है।

उत्तर: रैखिक समीकरण की किटनेस से यह समझा जाता है कि समीकरण के द्वारा दी गई रेखा की विशेषताएँ क्या होंगी, जैसे ढलान, y-अक्ष पर कटाव, आदि।

उत्तर: द्विघात समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) का हल भेद के सिद्धांत के अनुसार किया जाता है।

उत्तर: त्रिकोणमिति में संवेग अनुपातों का उपयोग करते हुए किसी त्रिकोण में कोणों और भुजाओं के संबंध को समझा जा सकता है।

उत्तर: समांतर रेखाओं के गुणांक समान होते हैं। यदि दो रेखाएँ समानांतर हैं, तो उनके स्लोप समान होते हैं।

उत्तर: दो बिंदुओं \( (x_1, y_1) \) और \( (x_2, y_2) \) के बीच की दूरी का सूत्र है: \[ \text{दूरी} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

उत्तर: प्रतिशतता का उपयोग किसी मात्रा के अनुपात को 100 के आधार पर व्यक्त करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए, \( 25\% = \frac{25}{100} \).

उत्तर: बाइनॉमियल थ्योरम के द्वारा \( (a + b)^n \) को विस्तार से लिखा जा सकता है, जिसका सामान्य रूप होता है: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]

उत्तर: आयताकार प्रक्षेत्र का क्षेत्रफल \( A = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \) होता है।

उत्तर: समानांतर रेखाओं की दूरी \( d = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{m^2 + 1}} \) होती है, जहाँ \( m \) दोनों रेखाओं का गुणांक है और \( c_1, c_2 \) उनकी y-अक्ष पर कटाव बिंदु हैं।

उत्तर: बाइनॉमियल को गुणनखंड में विभाजित करने के लिए बाइनॉमियल थ्योरम का प्रयोग किया जाता है।

उत्तर: घनमूल \( \sqrt[3]{x} \) किसी संख्या \( x \) का घनमूल होता है। गुणनफल के लिए, किसी संख्या को एक दूसरे से गुणा करने से उसका उत्पाद प्राप्त होता है।

उत्तर: त्रिकोणमिति के अनुपातों (साइन, कोसाइन, टैन्जेंट) के माध्यम से किसी त्रिकोण का कोण निकाला जा सकता है।

उत्तर: चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( A = l \times b \) (लंबाई × चौड़ाई) से निकाला जा सकता है, और विशेष मामलों में हेरॉन के सूत्र का भी उपयोग किया जाता है।

उत्तर: किसी भी त्रिकोण के तीन कोणों का योग हमेशा 180° होता है।

उत्तर: संदर्भ बिंदु से कोण की माप को रेखाओं के बीच के कोण के रूप में समझा जा सकता है।

उत्तर: कक्षीय समीकरण के लिए आप सामान्य रूप से \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) का प्रयोग करते हैं, जहाँ \( (h, k) \) केंद्र और \( r \) त्रिज्या होती है।

उत्तर: रैखिक अनुपात में दो या दो से अधिक रेखाओं के बीच के गुणांक का उपयोग करके उनके बीच के रिश्ते को समझा जाता है।

उत्तर: प्रक्षेत्रीय गणना में किसी क्षेत्र का गणना करने के लिए विभिन्न सूत्र होते हैं, जैसे आयत का क्षेत्रफल \( A = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \) और त्रिकोण का क्षेत्रफल \( A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)।

उत्तर: पुनरावृत्ति प्रक्रिया का उपयोग किसी संख्या को बार-बार जोड़ने, घटाने या गुणा करने के लिए किया जाता है।

उत्तर: द्विघात समीकरण का ग्राफ एक परबोला होता है, जो x-अक्ष से ऊपर या नीचे स्थित हो सकता है, यह समीकरण के गुणांक पर निर्भर करता है।

उत्तर: प्रमेयों का उपयोग करके कोणों के गुणांक जैसे साइन, कोसाइन, और टैनजेंट के मान निकाले जा सकते हैं।

उत्तर: त्रिकोणमिति के अनुपातों का उपयोग करके त्रिकोण का प्रक्षेत्र निकाला जा सकता है, जैसे \( \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) \)।

उत्तर: रैखिक समीकरण को \( ax + b = 0 \) के रूप में हल किया जाता है, जिसमें \( x = -\frac{b}{a} \) होता है।

उत्तर: आयत के सभी आंतरिक कोण 90° होते हैं।

उत्तर: त्रिकोण का क्षेत्रफल हेरॉन के सूत्र से निकाला जा सकता है: \[ A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \] जहाँ \( s = \frac{a + b + c}{2} \) है।

उत्तर: हलकों का गुणांक उनके रचनात्मक गुणों पर निर्भर करता है। किसी भी हलका समीकरण \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

उत्तर: युग्मल समीकरण को समाकलन या गुणन विधि का उपयोग करके हल किया जाता है, जैसे कि क्रॉस गुणन द्वारा।

उत्तर: त्रिकोण के किनारों की लंबाई पिथागोरस के सिद्धांत या त्रिकोणमिति के अनुपातों के आधार पर निकाली जा सकती है।

उत्तर: त्रिकोण का क्षेत्रफल \( A = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) \) द्वारा निकाला जा सकता है, जहाँ \( a \) और \( b \) त्रिकोण के दो पक्ष हैं और \( C \) उनके बीच का कोण है।

उत्तर: साधारण ब्याज का सूत्र है: \[ SI = \frac{P \times R \times T}{100} \] जहाँ \( P \) मुख्यधन, \( R \) ब्याज दर और \( T \) समय है।

उत्तर: समानांतर रेखाओं का समीकरण होता है: \[ y = mx + c_1 \quad \text{और} \quad y = mx + c_2 \] जहाँ \( m \) समानांतर रेखाओं का गुणांक होता है और \( c_1, c_2 \) उनके y-अक्ष पर कटाव बिंदु होते हैं।

उत्तर: दो बिंदुओं \( (x_1, y_1) \) और \( (x_2, y_2) \) के मध्य बिंदु का सूत्र है: \[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]

उत्तर: भागफल और शेषफल के बीच संबंध होता है: \[ a = b \times q + r \] जहाँ \( a \) भागी (Dividend), \( b \) भाजक (Divisor), \( q \) भागफल (Quotient), और \( r \) शेषफल (Remainder) होता है।

उत्तर: वर्गमूल निकालने के लिए \( \sqrt{x} \) का प्रयोग करते हैं, जहाँ \( x \) वह संख्या है जिसका वर्गमूल निकालना है।

उत्तर: पाइथागोरस का प्रमेय कहता है कि किसी समकोण त्रिकोण में कर्ण का वर्ग दोनों अनुप्रस्थ और लम्बवत भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है: \[ c^2 = a^2 + b^2 \]

उत्तर: त्रिकोणमिति के अनुपातों का प्रयोग कोणों और भुजाओं के संबंध को व्यक्त करने के लिए किया जाता है जैसे साइन, कोसाइन, और टैनजेंट।

उत्तर: मिश्रण का अनुपात \( \frac{A}{B} \) के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ \( A \) और \( B \) मिश्रण के दो घटक होते हैं।

उत्तर: त्रिकोण की ऊँचाई \( h = \frac{2A}{b} \) द्वारा निकाली जा सकती है, जहाँ \( A \) त्रिकोण का क्षेत्रफल और \( b \) आधार है।

उत्तर: वृत का क्षेत्रफल \( A = \pi r^2 \) होता है, जहाँ \( r \) वृत की त्रिज्या है।

उत्तर: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल \( A = b \times h \) होता है, जहाँ \( b \) आधार और \( h \) ऊँचाई है।

उत्तर: समीकरणांतर द्वारा हल करने के लिए, समीकरण को हल करते हुए अलग-अलग विधियों का प्रयोग किया जाता है, जैसे कि योग और गुणा विधि।

उत्तर: सामान्य रेखीय समीकरण \( Ax + By + C = 0 \) को \( y = mx + c \) के रूप में हल किया जा सकता है, जहाँ \( m \) रेखा का गुणांक है।

उत्तर: दो समांतर रेखाओं के समीकरण होते हैं \( y = mx + c_1 \) और \( y = mx + c_2 \), जहाँ \( m \) दोनों रेखाओं का समान ढलान होता है और \( c_1, c_2 \) उनकी y-अक्ष पर कटाव बिंदु होते हैं।

उत्तर: रैखिक असंतुलन \( ax + b > 0 \) को हल करते समय, \( x > -\frac{b}{a} \) होता है। यदि \( ax + b < 0 \), तो \( x < -\frac{b}{a} \)।

उत्तर: द्विघात समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) का हल भेद के सूत्र से निकाला जाता है: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

उत्तर: त्रिकोणमिति में साइन, कोसाइन, और टैनजेंट के अनुपातों का उपयोग किया जाता है: \[ \sin \theta = \frac{\text{विपरीत भुजा}}{\text{कर्ण}}, \quad \cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}}, \quad \tan \theta = \frac{\text{विपरीत भुजा}}{\text{आधार}} \]

उत्तर: पिथागोरस का प्रमेय कहता है कि समकोण त्रिकोण में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है: \[ c^2 = a^2 + b^2 \]

उत्तर: त्रिकोण का क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई के गुणनफल का आधा होता है: \[ A = \frac{1}{2} \times b \times h \]

उत्तर: वृत का क्षेत्रफल \( A = \pi r^2 \) होता है, जहाँ \( r \) वृत की त्रिज्या है।

उत्तर: आयत का क्षेत्रफल \( A = l \times b \) होता है, जहाँ \( l \) आयत की लंबाई और \( b \) चौड़ाई है।

उत्तर: वृत्त का व्यास \( D = 2r \) होता है, जहाँ \( r \) त्रिज्या है।

उत्तर: द्विघात बहुपद के गुणनफल को करते समय, हमें दो द्विघात बहुपदों को गुणा करना होता है: \[ (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) \]

उत्तर: गुणांक \( k \) और पुनरावृत्ति का अनुमान \( r = \frac{\Delta y}{\Delta x} \) द्वारा किया जाता है।

उत्तर: यदि वृत की परिधि \( P = 2\pi r \) हो, तो उसका व्यास \( D = \frac{P}{\pi} \) होता है।

उत्तर: युग्मल समीकरण को किसी विधि से हल किया जा सकता है, जैसे समाकलन या गुणन विधि से।

उत्तर: मिश्रण का अनुपात \( \frac{A}{B} \) के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ \( A \) और \( B \) मिश्रण के घटक होते हैं।

उत्तर: समानांतर रेखाओं का गुणांक समान होता है।

उत्तर: समानुपाती रेखाओं के गुणांक में एक अनुपात होता है, और उनका गुणांक समान होता है।

उत्तर: किसी भी त्रिकोण के तीनों आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।

उत्तर: किसी त्रिकोण के तीनों कोणों का योग हमेशा 180° होता है।

उत्तर: कोण का माप उस त्रिकोण के कोणों के बीच के अनुपात से निकाला जाता है।

उत्तर: कोणों का योग उनके माप के अनुसार किया जाता है, जैसे \( \theta_1 + \theta_2 = 180^\circ \) के तहत।

उत्तर: त्रिकोण का क्षेत्रफल \( A = \frac{1}{2} \times b \times h \) से निकाला जाता है, जहाँ \( b \) आधार और \( h \) ऊँचाई है।

उत्तर: ध्रुवीय रेखा का समीकरण होता है: \( r = \frac{l}{\cos \theta} \), जहाँ \( l \) लंबाई और \( \theta \) कोण होता है।

उत्तर: अंकन समीकरण को हल करते समय, गुणा और भाग की विधियों का प्रयोग होता है।

उत्तर: भुजाओं के गुणांक को त्रिकोण के कोणों से गुणा किया जाता है।

उत्तर: फलन के गुणांक को फलन के कोष्ठक की विधियों से अनुमानित किया जा सकता है।

उत्तर: रेखा का गुणांक \( m = \frac{\text{y2} - \text{y1}}{\text{x2} - \text{x1}} \) होता है।

उत्तर: गुणांक के अनुमान के लिए अनुपात का प्रयोग किया जाता है।

उत्तर: समीकरणों का हल करने के लिए गुणांक विधि का प्रयोग किया जाता है।

उत्तर: त्रिकोणमिति के अनुपातों का प्रयोग करके कोणों का मूल्य निकाला जाता है।

उत्तर: बिंदु के स्थान को उसकी \( x \) और \( y \) अभ्यस्ताओं से ज्ञात किया जा सकता है।